Seja
a relação em
dada por
e seja
a relação em
dada por
Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que duas relações,
e
, definidas nos números reais, são iguais. Isso envolve entender o que cada relação significa e mostrar que cada uma está contida na outra. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma relação, número racional e algumas propriedades básicas de divisibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação
. Ela é definida assim:
Isso quer dizer que dois números reais
e
estão relacionados pelo
se a diferença entre eles for um número racional.
Passo 3
Agora, vamos entender a relação
. Ela é definida da seguinte maneira:
Isso significa que
e
estão relacionados pelo
se existe um número inteiro
diferente de zero tal que
vezes a diferença
seja um número inteiro.
Passo 4
Para provar que
, vamos mostrar que
e
.
Passo 5
Primeiro, vamos provar que
. Ou seja, se
, então
.
Se
, então
é racional. Sabemos que qualquer número racional pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
.
Então, seja
. Se multiplicarmos ambos os lados por
, temos:
Como
é inteiro e
, isso satisfaz a condição da relação
com
. Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos provar que
. Ou seja, se
, então
.
Se
, existe um inteiro
tal que
é inteiro. Vamos chamar
, onde
é inteiro.
Então:
Como
e
são inteiros,
é um número racional. Portanto,
é racional, o que significa que
.
Resposta
Assim, mostramos que
e
, concluindo que
.
Exercícios relacionados
Explique o intervalo de convergência e prove que: (10 pontos)
Seja
a superfície do cubo, determinada pelos seis planos
e orientada para fora. Determine o fluxo
para cada um dos campos abaixo.
(a)
(a)
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto
é a região triangular fechada com vértices
e
. ( 20 pontos)
Mostre que o elipsoide
e a esfera
possuem vetores normais linearmente dependentes ( 15 pontos)
OBS: TODAS AS SOLUÇÕES DEVERÃO TER CONTAS.
OBS: TODAS AS SOLUÇÕES DEVERÃO TER CONTAS.