Seja R a relação em R dada por
a R b se e somente se b - a in Q
e seja S a relação em R dada por
a S b <-> existe n em Z, [n != 0 e n(b-a) em Z]
Prove que R=S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que duas relações, e , definidas nos números reais, são iguais. Isso envolve entender o que cada relação significa e mostrar que cada uma está contida na outra. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma relação, número racional e algumas propriedades básicas de divisibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação . Ela é definida assim:
Isso quer dizer que dois números reais e estão relacionados pelo se a diferença entre eles for um número racional.

Passo 3

Agora, vamos entender a relação . Ela é definida da seguinte maneira:
Isso significa que e estão relacionados pelo se existe um número inteiro diferente de zero tal que vezes a diferença seja um número inteiro.

Passo 4

Para provar que , vamos mostrar que e .

Passo 5

Primeiro, vamos provar que . Ou seja, se , então .
Se , então é racional. Sabemos que qualquer número racional pode ser escrito como uma fração , onde e são inteiros e .
Então, seja . Se multiplicarmos ambos os lados por , temos:
Como é inteiro e , isso satisfaz a condição da relação com . Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos provar que . Ou seja, se , então .
Se , existe um inteiro tal que é inteiro. Vamos chamar , onde é inteiro.
Então:
Como e são inteiros, é um número racional. Portanto, é racional, o que significa que .

Resposta

Assim, mostramos que e , concluindo que .

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