Explique o intervalo de convergência e prove que: (10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para explicar o intervalo de convergência e provar que:
Matéria envolvida: Séries de potências, especialmente a série de Taylor para funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Entender como encontrar o intervalo de convergência de uma série infinita e como provar que essa série específica representa a função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita de termos na forma , onde são coeficientes e é o centro da série. No nosso caso, a série está centrada em 0, então .
Passo 3
Para descobrir o intervalo de convergência, ou seja, para quais valores de a série realmente soma para um valor finito, usamos testes como o Teste da Razão (ou Teste do D’Alembert).
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão na série:
Calculamos o limite:
Substituindo e :
Simplificando os sinais e as potências de :
Passo 5
Avaliar o limite:
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor real de .
Passo 6
Agora que sabemos que a série converge para todo , vamos provar que ela representa . Sabemos que a série de Taylor de em torno de 0 é:
Isso é derivado expandindo em uma série de potências usando derivadas de ordem par que retornam ou .
Resposta
Portanto, a série
converge para todo real, ou seja, seu intervalo de convergência é .