Explique o intervalo de convergência e prove que: (10 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para explicar o intervalo de convergência e provar que:
Matéria envolvida: Séries de potências, especialmente a série de Taylor para funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Entender como encontrar o intervalo de convergência de uma série infinita e como provar que essa série específica representa a função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita de termos na forma , onde são coeficientes e é o centro da série. No nosso caso, a série está centrada em 0, então .

Passo 3

Para descobrir o intervalo de convergência, ou seja, para quais valores de a série realmente soma para um valor finito, usamos testes como o Teste da Razão (ou Teste do D’Alembert).

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na série:
Calculamos o limite:
Substituindo e :
Simplificando os sinais e as potências de :

Passo 5

Avaliar o limite:
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor real de .

Passo 6

Agora que sabemos que a série converge para todo , vamos provar que ela representa . Sabemos que a série de Taylor de em torno de 0 é:
Isso é derivado expandindo em uma série de potências usando derivadas de ordem par que retornam ou .

Resposta

Portanto, a série
converge para todo real, ou seja, seu intervalo de convergência é .

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Seja a superfície do cubo, determinada pelos seis planos e orientada para fora. Determine o fluxo para cada um dos campos abaixo.
(a)
Seja uma função e sejam . Prove que: .
Seja a relação em dada por
e seja a relação em dada por
Prove que .
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto é a região triangular fechada com vértices e . ( 20 pontos)