Explique o intervalo de convergência e prove que: (10 pontos)
cos x=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para explicar o intervalo de convergência e provar que:
cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!
Matéria envolvida: Séries de potências, especialmente a série de Taylor para funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Entender como encontrar o intervalo de convergência de uma série infinita e como provar que essa série específica representa a função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita de termos na forma , onde são coeficientes e é o centro da série. No nosso caso, a série está centrada em 0, então .

Passo 3

Para descobrir o intervalo de convergência, ou seja, para quais valores de a série realmente soma para um valor finito, usamos testes como o Teste da Razão (ou Teste do D’Alembert).

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na série:
an = (-1)^n x^2n(2n)!
Calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Substituindo L = limn to infty | (-1)^n+1 x^2(n+1)(2(n+1))! cdot (2n)!(-1)^n x^2n | e L = limn to infty | x^2 (2n+1)(2n+2) | :
Simplificando os sinais e as potências de :

Passo 5

Avaliar o limite:
L = limn to infty x^2(2n+1)(2n+2) = 0
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor real de .

Passo 6

Agora que sabemos que a série converge para todo cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! , vamos provar que ela representa . Sabemos que a série de Taylor de em torno de 0 é:
Isso é derivado expandindo em uma série de potências usando derivadas de ordem par que retornam ou .

Resposta

Portanto, a série
cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!
converge para todo real, ou seja, seu intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados