Mostre que o elipsoide
e a esfera
possuem vetores normais linearmente dependentes ( 15 pontos)
OBS: TODAS AS SOLUÇÕES DEVERÃO TER CONTAS.
OBS: TODAS AS SOLUÇÕES DEVERÃO TER CONTAS.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para mostrar que o elipsoide
e a esfera
têm vetores normais linearmente dependentes. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores normais de superfícies. Precisamos calcular os vetores normais de cada superfície e verificar se eles são múltiplos um do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar o vetor normal de uma superfície. Se tivermos uma superfície dada por uma equação
, o vetor normal nessa superfície é dado pelo gradiente de
, que é
.
Passo 3
Vamos começar com o elipsoide
. Podemos reescrever isso como
. Agora, calculamos o gradiente de
:
Então, o vetor normal ao elipsoide é
.
Passo 4
Agora, vamos para a esfera
. Vamos chamar essa equação de
. Calculando o gradiente de
:
Então, o vetor normal à esfera é
.
Passo 5
Para mostrar que esses vetores normais são linearmente dependentes, precisamos verificar se existe um escalar
tal que
. Isso significa que cada componente de
deve ser igual a
vezes a respectiva componente de
:
Passo 6
Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, fazemos o mesmo com a segunda equação:
E com a terceira:
Passo 7
Para que os vetores sejam linearmente dependentes, os valores de
obtidos nas três equações devem ser iguais:
Essa igualdade indica que há uma relação proporcional entre
,
e
nas soluções de ambas as equações, o que confirma a dependência linear dos vetores normais em pontos de interseção das duas superfícies.
Resposta
Assim, mostramos que os vetores normais do elipsoide e da esfera são linearmente dependentes.
Exercícios relacionados
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto
é a região triangular fechada com vértices
e
. ( 20 pontos)
Seja
a relação em
dada por
e seja
a relação em
dada por
Prove que
.
Seja
uma função e seja
a relação em
definida por
. Prove que
é uma relação de equivalência.
Seja
um conjunto e considere o conjunto diagonal de
definido por
Prove que
.