Mostre que o elipsoide 3 x^2 + 2 y^2 + z^2 = 9 e a esfera x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 6y - 8z + 24 = 0 possuem vetores normais linearmente dependentes ( 15 pontos)
OBS: TODAS AS SOLUÇÕES DEVERÃO TER CONTAS.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para mostrar que o elipsoide e a esfera têm vetores normais linearmente dependentes. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores normais de superfícies. Precisamos calcular os vetores normais de cada superfície e verificar se eles são múltiplos um do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o vetor normal de uma superfície. Se tivermos uma superfície dada por uma equação , o vetor normal nessa superfície é dado pelo gradiente de , que é .

Passo 3

Vamos começar com o elipsoide . Podemos reescrever isso como . Agora, calculamos o gradiente de :
Então, o vetor normal ao elipsoide é .

Passo 4

Agora, vamos para a esfera . Vamos chamar essa equação de . Calculando o gradiente de :
Então, o vetor normal à esfera é .

Passo 5

Para mostrar que esses vetores normais são linearmente dependentes, precisamos verificar se existe um escalar tal que . Isso significa que cada componente de deve ser igual a vezes a respectiva componente de :

Passo 6

Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, fazemos o mesmo com a segunda equação:
E com a terceira:

Passo 7

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, os valores de obtidos nas três equações devem ser iguais:
Essa igualdade indica que há uma relação proporcional entre , e nas soluções de ambas as equações, o que confirma a dependência linear dos vetores normais em pontos de interseção das duas superfícies.

Resposta

Assim, mostramos que os vetores normais do elipsoide e da esfera são linearmente dependentes.

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