Encontre a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Qual a direção de máxima variação de
no ponto
?
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Além disso, precisamos descobrir qual é a direção de máxima variação de
nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos do vetor gradiente da função no ponto
e do vetor direção
.
Passo 3
Vamos calcular o vetor gradiente
de
. O gradiente é formado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 4
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos o ponto
nas derivadas parciais para encontrar o gradiente no ponto:
Substituindo
,
,
:
Passo 8
Vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro,
, então
é um número muito pequeno, próximo de zero.
Segundo,
, então
é aproximadamente 0,5403.
Substituindo:
Passo 9
Agora, vamos normalizar o vetor direção
para obter um vetor unitário
:
Passo 10
A derivada direcional
é dada pelo produto escalar entre o gradiente
e o vetor unitário
:
Passo 11
Finalmente, a direção de máxima variação de
no ponto
é na direção do gradiente
. Como o gradiente é
, a direção de máxima variação é na mesma direção desse vetor.
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é aproximadamente 0,822, e a direção de máxima variação de
em
é na direção do gradiente
.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada de:
Determine os valores máximo e mínimo absolutos (e sua localização) de
para a região delimitada pelas curvas
e
.
Encontre a derivada de:
Encontre a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Qual a direção de máxima variação de
no ponto
?