Encontre a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Qual a direção de máxima variação de no ponto ?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Além disso, precisamos descobrir qual é a direção de máxima variação de nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos do vetor gradiente da função no ponto e do vetor direção .

Passo 3

Vamos calcular o vetor gradiente de . O gradiente é formado pelas derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

E a derivada parcial de em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos o ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente no ponto:
Substituindo , , :

Passo 8

Vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, , então é um número muito pequeno, próximo de zero.
Segundo, , então é aproximadamente 0,5403.
Substituindo:

Passo 9

Agora, vamos normalizar o vetor direção para obter um vetor unitário :

Passo 10

A derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário :

Passo 11

Finalmente, a direção de máxima variação de no ponto é na direção do gradiente . Como o gradiente é , a direção de máxima variação é na mesma direção desse vetor.

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é aproximadamente 0,822, e a direção de máxima variação de em é na direção do gradiente .

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