Determine os valores máximo e mínimo locais e os pontos de sela das funções a seguir

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Vamos usar cálculo multivariado para resolver isso. Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função, que são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1), podemos expressar em termos de :
Substituímos essa expressão na equação (2):
Então,
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 5

Para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos usar a Matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é então:

Passo 6

Calculamos o determinante da Hessiana:
Como e , isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Passo 7

Como a função é um polinômio de segundo grau sem termos de grau maior, não há outros pontos críticos além desse. Portanto, não existem valores máximos locais nem pontos de sela para essa função.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto . Não existem valores máximos locais nem pontos de sela para essa função.

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