Determine os valores máximo e mínimo locais e os pontos de sela das funções a seguir
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Vamos usar cálculo multivariado para resolver isso. Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função, que são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 3
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1), podemos expressar
em termos de
:
Substituímos essa expressão na equação (2):
Então,
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 5
Para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos usar a Matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana
é então:
Passo 6
Calculamos o determinante da Hessiana:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um mínimo local.
Passo 7
Como a função
é um polinômio de segundo grau sem termos de grau maior, não há outros pontos críticos além desse. Portanto, não existem valores máximos locais nem pontos de sela para essa função.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
. Não existem valores máximos locais nem pontos de sela para essa função.
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