Mostre que a série sumn=1^infty 4 n^28 n^2-2 n+3 diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa série não converge, ou seja, que ela diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e utilizar o Teste da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o Teste da Divergência. Esse teste é bem simples: se o limite do termo geral da série, quando tende ao infinito, não for zero, então a série não converge. Em outras palavras, se os termos não estão “diminuindo para zero”, a série não vai se somar a um valor finito.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite do termo geral da nossa série quando limn to infty 4 n^28 n^2-2 n+3 = limn to infty 48 - 2n + 3n^2 tende ao infinito. O termo geral é 48 - 0 + 0 = 48 = 12 . Para simplificar, dividimos o numerador e o denominador por :
À medida que fica bem grande, os termos e ficam cada vez menores, praticamente virando zero. Então, o limite fica:

Passo 4

O limite do termo geral da série é , que não é zero. Segundo o Teste da Divergência, se esse limite não for zero, a série não converge.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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