Mostre que a série
diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita:
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa série não converge, ou seja, que ela diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e utilizar o Teste da Divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o Teste da Divergência. Esse teste é bem simples: se o limite do termo geral da série, quando
tende ao infinito, não for zero, então a série não converge. Em outras palavras, se os termos não estão “diminuindo para zero”, a série não vai se somar a um valor finito.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite do termo geral da nossa série quando
tende ao infinito. O termo geral é
. Para simplificar, dividimos o numerador e o denominador por
:
À medida que
fica bem grande, os termos
e
ficam cada vez menores, praticamente virando zero. Então, o limite fica:
Passo 4
O limite do termo geral da série é
, que não é zero. Segundo o Teste da Divergência, se esse limite não for zero, a série não converge.
Resposta
Portanto, a série
diverge.
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