Determine os valores máximo e mínimos locais e pontos de sela das funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, de várias funções de duas variáveis
. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
e as igualamos a zero.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Passo 6
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, o ponto
é um máximo local.
Passo 7
Passando para a segunda função:
Novamente, vamos achar os pontos críticos.
Passo 8
Calculando as derivadas parciais:
Passo 9
Igualando as derivadas a zero:
Da primeira equação, temos
ou
.
Se
, então:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 10
Classificando o ponto crítico
:
Calculamos as segundas derivadas:
Em
:
Discriminante:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Passo 11
Passando para a terceira função:
Primeiro, expandimos a função para facilitar os cálculos:
Passo 12
Calculando as derivadas parciais:
Passo 13
Igualando as derivadas a zero:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 14
Resolvido a equação
numericamente, encontramos
. Assim,
Portanto, o ponto crítico aproximado é
.
Passo 15
Classificando o ponto
:
Calculamos as segundas derivadas:
Discriminante:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Passo 16
Passando para a quarta função:
Passo 17
Calculando as derivadas parciais:
Passo 18
Igualando as derivadas a zero:
Analisando:
- Se
, da primeira equação , então apenas . - Se
, então .
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 19
Classificando os pontos
e
:
Calculamos as segundas derivadas:
Em
:
Discriminante:
Então,
é um ponto de sela. O mesmo vale para
.
Passo 20
Passando para a quinta função:
Passo 21
Calculando as derivadas parciais:
Passo 22
Igualando as derivadas a zero:
Analisando os casos:
- Se
:
Pontos:
e
.
- Se
:
Pontos:
e
.
Passo 23
Classificando os pontos:
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
- Ponto
:
- Ponto
:
- Ponto
e :
Passo 24
Passando para a sexta função:
Passo 25
Calculando as derivadas parciais:
Passo 26
Igualando as derivadas a zero:
Analisando os casos:
-
Se
e : - Ponto:
.
- Ponto:
-
Se
e : - Ponto:
.
- Ponto:
-
Se
e : - Ponto:
.
- Ponto:
-
Se
e : - Resolvendo o sistema:
Subtraindo as duas equações: Substituindo na primeira equação: Ponto: .
- Resolvendo o sistema:
Passo 27
Classificando os pontos:
Calculamos as segundas derivadas:
- Ponto
:
- Ponto
:
- Ponto
:
- Ponto
:
Passo 28
Passando para a sétima função:
Passo 29
Calculando as derivadas parciais:
Passo 30
Igualando as derivadas a zero:
Substituindo
na equação
:
Assim,
ou
.
-
Se
: Ponto:. -
Se
: Ponto:.
Passo 31
Classificando os pontos:
Calculamos as segundas derivadas:
- Ponto
:
- Ponto
:
Resposta
Os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela das funções são:
-
: - Máximo local em
.
- Máximo local em
-
: - Ponto de sela em
.
- Ponto de sela em
-
: - Ponto de sela em
(aproximadamente).
- Ponto de sela em
-
: - Pontos de sela em
e .
- Pontos de sela em
-
: - Máximo local em
. - Mínimo local em
. - Pontos de sela em
e .
- Máximo local em
-
: - Ponto de sela em
, , e . - Máximo local em
.
- Ponto de sela em
-
: - Ponto de sela em
. - Mínimo local em
.
- Ponto de sela em