Determine os valores máximo e mínimos locais e pontos de sela das funções
& f(x, y)=9-2 x+4 y-x^2-4 y^2 & f(x, y)=x^3 y+12 x^2-8 y & f(x, y)=(x-y)(1-x y) & f(x, y)=x e^-2 x^2-2 y^2 & f(x, y)=y^3+3 x^2 y-6 x^2-6 y^2+2 & f(x, y)=x y(1-x-y) & f(x, y)=x^3-12 x y+8 y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, de várias funções de duas variáveis . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
f(x, y) = 9 - 2x + 4y - x^2 - 4y^2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a e e as igualamos a zero.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
fx = partial fpartial x = -2 - 2x
fy = partial fpartial y = 4 - 8y

Passo 4

Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
-2 - 2x = 0 implies x = -1
4 - 8y = 0 implies y = 12
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -8
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0

Passo 6

Calculamos o discriminante D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = (-2)(-8) - 0 = 16 :
Como e , o ponto é um máximo local.

Passo 7

Passando para a segunda função:
f(x, y) = x^3 y + 12x^2 - 8y
Novamente, vamos achar os pontos críticos.

Passo 8

Calculando as derivadas parciais:
fx = 3x^2 y + 24x
fy = x^3 - 8

Passo 9

Igualando as derivadas a zero:
3x^2 y + 24x = 0 implies 3x(x y + 8) = 0
x^3 - 8 = 0 implies x = 2
Da primeira equação, temos y = -82 = -4 ou .
Se , então:
Então, o ponto crítico é .

Passo 10

Classificando o ponto crítico fxx = 6x y + 24 :
Calculamos as segundas derivadas:
fyy = 0
fxy = 3x^2
fxx = 6(2)(-4) + 24 = -48 + 24 = -24
Em fyy = 0 :
fxy = 3(2)^2 = 12
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = (-24)(0) - (12)^2 = -144
Discriminante:
Como , o ponto é um ponto de sela.

Passo 11

Passando para a terceira função:
f(x, y) = (x - y)(1 - x y)
Primeiro, expandimos a função para facilitar os cálculos:
f(x, y) = x - y - x^2 y + y^2

Passo 12

Calculando as derivadas parciais:
fx = 1 - 2x y
fy = -1 - x^2 + 2y

Passo 13

Igualando as derivadas a zero:
1 - 2x y = 0 implies y = 12x
-1 - x^2 + 2y = 0 implies 2y = 1 + x^2 implies y = 1 + x^22
Igualando as duas expressões para 12x = 1 + x^22 implies 1x = 1 + x^2 implies x^3 + x - 1 = 0 :

Passo 14

Resolvido a equação y approx 1 + (0.682)^22 approx 1 + 0.4652 approx 0.732 numericamente, encontramos . Assim,
Portanto, o ponto crítico aproximado é .

Passo 15

Classificando o ponto fxx = -2y approx -1.464 :
Calculamos as segundas derivadas:
fyy = 2
fxy = -2x approx -1.364
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 approx (-1.464)(2) - (-1.364)^2 approx -2.928 - 1.86 approx -4.788
Discriminante:
Como , o ponto é um ponto de sela.

Passo 16

Passando para a quarta função:
f(x, y) = x e^-2x^2 - 2y^2

Passo 17

Calculando as derivadas parciais:
fx = e^-2x^2 - 2y^2 + x cdot (-4x) e^-2x^2 - 2y^2 = e^-2x^2 - 2y^2 (1 - 4x^2)
fy = x cdot (-4y) e^-2x^2 - 2y^2 = -4x y e^-2x^2 - 2y^2

Passo 18

Igualando as derivadas a zero:
e^-2x^2 - 2y^2 (1 - 4x^2) = 0 implies 1 - 4x^2 = 0 implies x = pm 12
-4x y e^-2x^2 - 2y^2 = 0 implies x = 0 ou y = 0
Analisando:
  • Se , da primeira equação , então apenas .
  • Se , então .
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 19

Classificando os pontos fxx = -4x cdot e^-2x^2 - 2y^2 (1 - 4x^2) + e^-2x^2 - 2y^2 (-8x) = e^-2x^2 - 2y^2 (-4 + 16x^2) e fyy = -4x cdot e^-2x^2 - 2y^2 cdot 0 + (-4x)(-4y) e^-2x^2 - 2y^2 = 16x y e^-2x^2 - 2y^2 = 0 :
Calculamos as segundas derivadas:
fxy = -4y e^-2x^2 - 2y^2 + (-4x)(-4x) e^-2x^2 - 2y^2 = 16x^2 e^-2x^2 - 2y^2
fxx = e^-1 (-4 + 16 cdot 14) = e^-1 ( -4 + 4 ) = 0
fyy = 0
Em fxy = 16 cdot 14 e^-1 = 4 e^-1 :
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = 0 - (4e^-1)^2 = -16 e^-2 < 0
Discriminante:
Então, é um ponto de sela. O mesmo vale para .

Passo 20

Passando para a quinta função:
f(x, y) = y^3 + 3x^2 y - 6x^2 - 6y^2 + 2

Passo 21

Calculando as derivadas parciais:
fx = 6x y - 12x
fy = 3y^2 + 3x^2 - 12y

Passo 22

Igualando as derivadas a zero:
6x y - 12x = 0 implies 6x(y - 2) = 0 implies x = 0 ou y = 2
3y^2 + 3x^2 - 12y = 0 implies y^2 + x^2 - 4y = 0 implies x^2 = 4y - y^2
Analisando os casos:
  1. Se 0 = 4y - y^2 implies y(y - 4) = 0 implies y = 0 ou y = 4 :
x^2 = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4 implies x = pm 2
Pontos: e .
  1. Se :
Pontos: e .

Passo 23

Classificando os pontos:
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fxx = 6y - 12
fyy = 6y - 12
fxy = 6x
  1. Ponto fxx = -12, fyy = -12, fxy = 0 :
D = (-12)(-12) - 0 = 144 > 0
fxx < 0 implies Máximo local
fxx = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12, fyy = 12, fxy = 0 á
  1. Ponto D = 12 cdot 12 - 0 = 144 > 0 :
fxx > 0 implies Mínimo local
fxx = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0, fyy = 0, fxy = pm 12
D = 0 cdot 0 - (12)^2 = -144 < 0 í
  1. Ponto Pontos de sela e :

Passo 24

Passando para a sexta função:
f(x, y) = x y (1 - x - y)

Passo 25

Calculando as derivadas parciais:
fx = y (1 - x - y) + x y (-1) = y (1 - x - y - x) = y (1 - 2x - y)
fy = x (1 - x - y) + x y (-1) = x (1 - x - y - y) = x (1 - x - 2y)

Passo 26

Igualando as derivadas a zero:
y (1 - 2x - y) = 0 implies y = 0 ou 1 - 2x - y = 0
x (1 - x - 2y) = 0 implies x = 0 ou 1 - x - 2y = 0
Analisando os casos:
  1. Se 1 - 2x - y = 0 1 - x - 2y = 0 e -x + y = 0 implies y = x :
    • Ponto: 1 - 2x - x = 0 implies 1 - 3x = 0 implies x = 13, y = 13 .
  2. Se e :
    • Ponto: .
  3. Se e :
    • Ponto: .
  4. Se e :
    • Resolvendo o sistema: Subtraindo as duas equações: Substituindo na primeira equação: Ponto: .

Passo 27

Classificando os pontos:
Calculamos as segundas derivadas:
fxx = -2y
fyy = -2x
fxy = 1 - 2x - 2y
  1. Ponto fxx = 0, fyy = 0, fxy = 1 :
D = 0 cdot 0 - (1)^2 = -1 < 0 implies Ponto de sela
fxx = -2(1) = -2, fyy = 0, fxy = 1 - 0 - 2 = -1
  1. Ponto D = (-2)(0) - (-1)^2 = -1 < 0 implies Ponto de sela :
fxx = 0, fyy = -2(1) = -2, fxy = 1 - 2 - 0 = -1
D = 0 cdot (-2) - (-1)^2 = -1 < 0 implies Ponto de sela
  1. Ponto fxx = -2 cdot 13 = -23, fyy = -2 cdot 13 = -23 :
fxy = 1 - 2 cdot 13 - 2 cdot 13 = 1 - 23 - 23 = -13
D = (-23)(-23) - (-13)^2 = 49 - 19 = 39 = 13 > 0
  1. Ponto fxx < 0 implies Máximo local :
á

Passo 28

Passando para a sétima função:
f(x, y) = x^3 - 12x y + 8y^3

Passo 29

Calculando as derivadas parciais:
fx = 3x^2 - 12y
fy = -12x + 24y^2

Passo 30

Igualando as derivadas a zero:
3x^2 - 12y = 0 implies x^2 = 4y
-12x + 24y^2 = 0 implies -12x + 24y^2 = 0 implies -x + 2y^2 = 0 implies x = 2y^2
Substituindo (2y^2)^2 = 4y implies 4y^4 = 4y implies y^4 = y implies y(y^3 - 1) = 0 na equação x = 2(0)^2 = 0 :
x = 2(1)^2 = 2
Assim, ou .
  1. Se :
    Ponto: .
  2. Se :
    Ponto: .

Passo 31

Classificando os pontos:
Calculamos as segundas derivadas:
fxx = 6x
fyy = 48y
fxy = -12
  1. Ponto fxx = 0, fyy = 0, fxy = -12 :
D = 0 cdot 0 - (-12)^2 = -144 < 0 implies Ponto de sela
fxx = 12, fyy = 48, fxy = -12
  1. Ponto D = 12 cdot 48 - (-12)^2 = 576 - 144 = 432 > 0 :
fxx > 0 implies Mínimo local
í

Resposta

Os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela das funções são:
  1. :
    • Máximo local em .
  2. :
    • Ponto de sela em .
  3. :
    • Ponto de sela em (aproximadamente).
  4. :
    • Pontos de sela em e .
  5. :
    • Máximo local em .
    • Mínimo local em .
    • Pontos de sela em e .
  6. :
    • Ponto de sela em , , e .
    • Máximo local em .
  7. :
    • Ponto de sela em .
    • Mínimo local em .

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