Sejam mu e lambda números reais, com mu != 0. Mostre que f(x) = e^(lambda) * cos(mu * x) * e f(x) = e^(lambda) * sen(mu x) săo funçōes linearmente independentes.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
Nosso objetivo é mostrar que essas duas funções são linearmente independentes. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear que envolvem combinações lineares de funções.

Passo 2

O que significa ser linearmente independente? Duas funções e são linearmente independentes se a única solução para a equação:
for e . Em outras palavras, não podemos escrever uma função como múltiplo da outra a menos que os coeficientes sejam zero.

Passo 3

Vamos montar a equação:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero para qualquer valor de , ficamos com:

Passo 4

A equação acima deve ser válida para todo . Vamos escolher valores específicos de para encontrar e .
Primeiro, escolha :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora que sabemos que , substituímos na equação original:
Ou seja:
Como não é identicamente zero (a menos que , o que não é o caso), concluímos que:

Passo 6

Chegamos a e , que é a única solução possível para a equação inicial. Isso significa que as funções e são linearmente independentes.

Resposta

As funções e são linearmente independentes.

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