Sejam
números reais, com
. Mostre que
săo funçōes linearmente independentes.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
Nosso objetivo é mostrar que essas duas funções são linearmente independentes. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear que envolvem combinações lineares de funções.
Passo 2
O que significa ser linearmente independente? Duas funções
e
são linearmente independentes se a única solução para a equação:
for
e
. Em outras palavras, não podemos escrever uma função como múltiplo da outra a menos que os coeficientes sejam zero.
Passo 3
Vamos montar a equação:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero para qualquer valor de
, ficamos com:
Passo 4
A equação acima deve ser válida para todo
. Vamos escolher valores específicos de
para encontrar
e
.
Primeiro, escolha
:
Sabemos que
e , então:
Passo 5
Agora que sabemos que
, substituímos na equação original:
Ou seja:
Como não é identicamente zero (a menos que
, o que não é o caso), concluímos que:
Passo 6
Chegamos a
e
, que é a única solução possível para a equação inicial. Isso significa que as funções
e
são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e são linearmente independentes.
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,