Sejam números reais, com . Mostre que săo funçōes linearmente independentes.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
Nosso objetivo é mostrar que essas duas funções são linearmente independentes. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear que envolvem combinações lineares de funções.

Passo 2

O que significa ser linearmente independente? Duas funções e são linearmente independentes se a única solução para a equação:
for e . Em outras palavras, não podemos escrever uma função como múltiplo da outra a menos que os coeficientes sejam zero.

Passo 3

Vamos montar a equação:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero para qualquer valor de , ficamos com:

Passo 4

A equação acima deve ser válida para todo . Vamos escolher valores específicos de para encontrar e .
Primeiro, escolha :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora que sabemos que , substituímos na equação original:
Ou seja:
Como não é identicamente zero (a menos que , o que não é o caso), concluímos que:

Passo 6

Chegamos a e , que é a única solução possível para a equação inicial. Isso significa que as funções e são linearmente independentes.

Resposta

As funções e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Use o método da redução da ordem para encontrar a segunda solução da e.D.O abaixo:
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução da E.D.O abaixo:
Determine os valores máximo e mínimos locais e pontos de sela das funções
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
,