Use o método da redução da ordem para encontrar a segunda solução da e.D.O abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
E já sabemos uma solução dessa equação, que é . Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução usando o método da redução da ordem. Para isso, vamos precisar entender como esse método funciona e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, como já temos uma solução conhecida , vamos supor que a segunda solução pode ser escrita como:
Aqui, é uma função que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Essas derivadas serão usadas na equação original.

Passo 4

Substituindo , e na EDO original:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero, podemos simplificar a equação dentro dos colchetes:
Simplificando termo a termo:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem para :
Vamos fazer a substituição , então a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear e podemos resolver encontrando um fator integrante.

Passo 6

O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar para encontrar :
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Seja e . Então, e . Aplicando a fórmula:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos na expressão de :
Como já é uma solução conhecida, a parte não nos dá uma nova solução independente. Portanto, descartamos essa parte e temos:
Podemos simplificar para:

Resposta

A segunda solução da EDO é .

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