Use o método da redução da ordem para encontrar a segunda solução da e.D.O abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
E já sabemos uma solução dessa equação, que é
. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução usando o método da redução da ordem. Para isso, vamos precisar entender como esse método funciona e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, como já temos uma solução conhecida
, vamos supor que a segunda solução
pode ser escrita como:
Aqui,
é uma função que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Essas derivadas serão usadas na equação original.
Passo 4
Substituindo
,
e
na EDO original:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, podemos simplificar a equação dentro dos colchetes:
Simplificando termo a termo:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem para
:
Vamos fazer a substituição
, então a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear e podemos resolver encontrando um fator integrante.
Passo 6
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Seja
e
. Então,
e
. Aplicando a fórmula:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão de
:
Como
já é uma solução conhecida, a parte
não nos dá uma nova solução independente. Portanto, descartamos essa parte e temos:
Podemos simplificar para:
Resposta
A segunda solução da EDO é
.
Exercícios relacionados
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução da E.D.O abaixo:
Sejam
e
. Calcule F
Sejam
números reais, com
. Mostre que
săo funçōes linearmente independentes.
Determine os valores máximo e mínimos locais e pontos de sela das funções