Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar a solução que satisfaz a condição dada. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar um fator integrante e aplicar a condição inicial para determinar a constante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é . Nossa equação é:
Dividindo todos os termos por (já que ) para isolar :
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos dividindo todos os termos por :
Simplificando cada termo:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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