Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar a solução que satisfaz a condição dada. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar um fator integrante e aplicar a condição inicial para determinar a constante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é
. Nossa equação é:
Dividindo todos os termos por
(já que
) para isolar
:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo todos os termos por
:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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números reais, com
. Mostre que
săo funçōes linearmente independentes.
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
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