Determine os valores máximos e mínimos absolutos de
, no conjunto
. (Vale 3,0 pts.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
no conjunto
. Isso envolve otimização de funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e verificando os pontos dentro do domínio dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do domínio. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Para
:
Para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Precisamos verificar se esse ponto está dentro do domínio
. Como
e
, o ponto
está dentro do domínio.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas bordas do domínio para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos.
Primeiro, no ponto crítico
:
Passo 6
Em seguida, vamos avaliar a função nas bordas do retângulo
.
- Quando
:
Para encontrar o máximo e mínimo dessa parabola, derivamos em relação a
:
Igualando a zero:
Então,
Também verificamos os extremos nos pontos
e
:
- Quando
:
Novamente, derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Então,
E nos extremos:
- Quando
:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Então,
E nos extremos:
- Quando
:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Então, ( f(2, 5) = 4(2) - (2)^{2} + 5 = 8 - 4 + 5 = 9 ]
E nos extremos:
Resposta
Os valores máximos absolutos são
no ponto
e
nos pontos
,
e
. Os valores mínimos absolutos são
nos pontos
e
, e
nos pontos
e
.