Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f(x, y) = 4x + 6y - x^2 - y^2, no conjunto D = (x, y) / 0 <= x <= 4, 0 <= y <= 5. (Vale 3,0 pts.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto . Isso envolve otimização de funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e verificando os pontos dentro do domínio dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do domínio. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Para :
Para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Precisamos verificar se esse ponto está dentro do domínio . Como e , o ponto está dentro do domínio.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas bordas do domínio para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos.
Primeiro, no ponto crítico :

Passo 6

Em seguida, vamos avaliar a função nas bordas do retângulo .
  1. Quando :
Para encontrar o máximo e mínimo dessa parabola, derivamos em relação a :
Igualando a zero:
Então,
Também verificamos os extremos nos pontos e :
  1. Quando :
Novamente, derivando em relação a :
Igualando a zero:
Então,
E nos extremos:
  1. Quando :
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Então,
E nos extremos:
  1. Quando :
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Então, ( f(2, 5) = 4(2) - (2)^{2} + 5 = 8 - 4 + 5 = 9 ]
E nos extremos:

Resposta

Os valores máximos absolutos são no ponto e nos pontos , e . Os valores mínimos absolutos são nos pontos e , e nos pontos e .

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