Determine os valores máximos e mínimos absolutos das seguintes funções definidas no conjunto compacto K. Esboce o gráfico da região K. 6.1 f(x, y) = 2 x^3 + y^4, K = {(x, y) in R^2: x^2 + y^2 <= 1};

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto compacto , que é definido por . Isso está relacionado ao estudo de máximos e mínimos em funções de várias variáveis, especialmente dentro de regiões fechadas e limitadas (compactas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o conjunto . A equação representa um círculo de raio 1 centrado na origem (0,0) no plano xy. Então, é o disco fechado que inclui todos os pontos dentro e na borda desse círculo.

Passo 3

Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função em , precisamos considerar dois lugares:
  1. Dentro do interior de : onde podemos usar as derivadas parciais para encontrar pontos críticos.
  2. Na borda de : que é o círculo . Aqui, podemos usar o método de multiplicadores de Lagrange ou parametrizar a borda.
Vamos começar encontrando os pontos críticos no interior de .

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Então, o único ponto crítico no interior de é .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
Então, .

Passo 6

Em seguida, precisamos verificar os pontos na borda de , onde . Nessa região, podemos usar a parametrização trigonométrica:
onde varia de a .
Substituindo na função :
Agora, precisamos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão em .

Passo 7

Para encontrar os extremos de , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Igualando a zero:
Fatorando:
Então, temos três casos:
Vamos analisar cada caso.

Passo 8

Caso 1:
Calculando nesses pontos:
Caso 2:
Calculando nesses pontos:
Caso 3:
Usando a identidade :
Resolvendo a equação quadrática:
Então:
ãéá
Então, a única solução válida é , o que implica:
Calculando :

Passo 9

Agora, vamos resumir os valores encontrados:
  • Interior:
  • Borda:
    • :
    • :
    • :
    • :

Passo 10

Comparando esses valores, vemos que:
  • Máximo absoluto: em e
  • Mínimo absoluto: em

Resposta

Os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto são:
  • Máximo absoluto: no ponto
  • Mínimo absoluto: no ponto

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