Determine os valores máximos e mínimos absolutos das seguintes funções definidas no conjunto compacto
. Esboce o gráfico da região
.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
no conjunto compacto
, que é definido por
. Isso está relacionado ao estudo de máximos e mínimos em funções de várias variáveis, especialmente dentro de regiões fechadas e limitadas (compactas).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o conjunto
. A equação
representa um círculo de raio 1 centrado na origem (0,0) no plano xy. Então,
é o disco fechado que inclui todos os pontos dentro e na borda desse círculo.
Passo 3
Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
em
, precisamos considerar dois lugares:
- Dentro do interior de
: onde podemos usar as derivadas parciais para encontrar pontos críticos. - Na borda de
: que é o círculo . Aqui, podemos usar o método de multiplicadores de Lagrange ou parametrizar a borda.
Vamos começar encontrando os pontos críticos no interior de
.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Então, o único ponto crítico no interior de
é
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nesse ponto crítico:
Então,
.
Passo 6
Em seguida, precisamos verificar os pontos na borda de
, onde
. Nessa região, podemos usar a parametrização trigonométrica:
onde
varia de
a
.
Substituindo na função
:
Agora, precisamos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão em
.
Passo 7
Para encontrar os extremos de
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Igualando a zero:
Fatorando:
Então, temos três casos:
Vamos analisar cada caso.
Passo 8
Caso 1:
Calculando
nesses pontos:
Caso 2:
Calculando
nesses pontos:
Caso 3:
Usando a identidade
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então:
Então, a única solução válida é
, o que implica:
Calculando
:
Passo 9
Agora, vamos resumir os valores encontrados:
- Interior:
- Borda:
-
: -
: -
: -
:
-
Passo 10
Comparando esses valores, vemos que:
- Máximo absoluto:
em e - Mínimo absoluto:
em
Resposta
Os valores máximos e mínimos absolutos da função
no conjunto
são:
- Máximo absoluto:
no ponto - Mínimo absoluto:
no ponto