Determine os valores máximos e mínimos absolutos das seguintes funções definidas no conjunto compacto . Esboce o gráfico da região .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função dentro de um conjunto compacto . Primeiro, vamos entender do que se trata:
  • Conjunto compacto : É definido por e . Isso significa que varia entre -2 e 2, e para cada , vai de 0 até .
  • Função: Precisamos encontrar os valores máximos e mínimos que assume nesse conjunto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como encontrar pontos críticos da função dentro do domínio e também verificar os valores nas fronteiras do conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em . Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do conjunto .

Passo 3

Vamos verificar se está em :
  • é verdade.
  • também é verdade.
Portanto, o ponto crítico está dentro de . Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Esse é um candidato para máximo ou mínimo absoluto.

Passo 4

Agora, precisamos analisar os valores da função nas fronteiras do conjunto . As fronteiras são onde , , , e . Vamos analisar cada caso:
  1. Quando :
    Aqui, varia de 0 a .
    Vamos encontrar o mínimo e o máximo:
    • Para :
    • Para :
  2. Quando :
    Aqui, varia de 0 a .
    Vamos encontrar o mínimo e o máximo:
    • Para :
    • Para :
  3. Quando :
    Aqui, varia de -2 a 2.
    Vamos encontrar o mínimo e o máximo:
    • Para :
    • Para :
  4. Quando :
    Aqui, varia de -2 a 2. Para encontrar os máximos e mínimos, precisaríamos derivar essa expressão em relação a e resolver, mas vamos avaliar os extremos:
    • Para :
    • Para :

Passo 5

Agora, vamos reunir todos os valores que encontramos:
  • No ponto crítico :
  • Na fronteira :
  • Na fronteira :
  • Na fronteira :
  • Na fronteira :
Agora, identificamos os valores máximos e mínimos absolutos:
  • Máximo absoluto: 3
  • Mínimo absoluto: -9

Resposta

Os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto são:
  • Máximo absoluto: 3
  • Mínimo absoluto: -9

Exercícios relacionados

O que há de errado com a equação a seguir?
Determine os valores máximos e mínimos absolutos das seguintes funções definidas no conjunto compacto . Esboce o gráfico da região . ;
Determine e esboce o domínio das funções abaixo
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.