Determine os valores máximos e mínimos absolutos das seguintes funções definidas no conjunto compacto
. Esboce o gráfico da região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
dentro de um conjunto compacto
. Primeiro, vamos entender do que se trata:
- Conjunto compacto
: É definido por e . Isso significa que varia entre -2 e 2, e para cada , vai de 0 até . - Função: Precisamos encontrar os valores máximos e mínimos que
assume nesse conjunto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como encontrar pontos críticos da função dentro do domínio e também verificar os valores nas fronteiras do conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
. Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do conjunto
.
Passo 3
Vamos verificar se
está em
:
-
é verdade. -
também é verdade.
Portanto, o ponto crítico
está dentro de
. Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Esse é um candidato para máximo ou mínimo absoluto.
Passo 4
Agora, precisamos analisar os valores da função nas fronteiras do conjunto
. As fronteiras são onde
,
,
, e
. Vamos analisar cada caso:
-
Quando
: Aqui,varia de 0 a . Vamos encontrar o mínimo e o máximo:- Para
: - Para
:
- Para
-
Quando
: Aqui,varia de 0 a . Vamos encontrar o mínimo e o máximo:- Para
: - Para
:
- Para
-
Quando
: Aqui,varia de -2 a 2. Vamos encontrar o mínimo e o máximo:- Para
: - Para
:
- Para
-
Quando
: Aqui,varia de -2 a 2. Para encontrar os máximos e mínimos, precisaríamos derivar essa expressão em relação a e resolver, mas vamos avaliar os extremos: - Para
: - Para
:
- Para
Passo 5
Agora, vamos reunir todos os valores que encontramos:
- No ponto crítico
: - Na fronteira
: -
- Na fronteira
: -
- Na fronteira
: -
- Na fronteira
: -
Agora, identificamos os valores máximos e mínimos absolutos:
- Máximo absoluto: 3
- Mínimo absoluto: -9
Resposta
Os valores máximos e mínimos absolutos da função
no conjunto
são:
- Máximo absoluto: 3
- Mínimo absoluto: -9
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O que há de errado com a equação a seguir?
Determine os valores máximos e mínimos absolutos das seguintes funções definidas no conjunto compacto
. Esboce o gráfico da região
.
;
Determine e esboce o domínio das funções abaixo
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.