(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve a função . O conteúdo está relacionado a funções de duas variáveis, onde precisamos entender domínio, imagem, curvas de nível, fronteira do domínio, se o domínio é aberto ou fechado, e se é limitado ou ilimitado. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de domínio de uma função, a função arco seno ( ), e conceitos básicos de conjuntos no plano.

Passo 2

(i) Encontrar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. No caso da função arco seno, , o valor dentro da função precisa estar entre -1 e 1, ou seja, .
Aplicando isso à nossa função:
Isso significa que para a função estar definida, deve estar nesse intervalo.

Passo 3

(ii) Encontrar a imagem da função
A imagem da função arco seno, , está no intervalo . Portanto, a imagem de será:
Independente dos valores de e que satisfaçam o domínio, a saída da função sempre estará nesse intervalo.

Passo 4

(iii) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Para nossa função:
Aplicando a função seno em ambos os lados:
Isso representa uma família de linhas retas com inclinação 1 e interceptação . Cada valor de dentro da imagem corresponde a uma linha diferente.

Passo 5

(iv) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira do domínio são os pontos onde e . Essas são as linhas que delimitam onde a função começa e termina de estar definida:
Essas duas linhas paralelas definem as bordas do domínio da função.

Passo 6

(v) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
Uma região é considerada aberta se não inclui sua fronteira, fechada se inclui a fronteira, e nenhuma das duas se inclui parte da fronteira.
No nosso caso, o domínio inclui os valores onde , ou seja, inclui as linhas onde e . Portanto, o domínio é uma região fechada.

Passo 7

(vi) Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado
Um domínio é limitado se está contido dentro de um círculo de raio finito, e ilimitado se se estende ao infinito em alguma direção.
No nosso caso, está restrito entre -1 e 1, mas e podem ir ao infinito positivo ou negativo, desde que a diferença permaneça dentro desse intervalo. Portanto, o domínio é ilimitado.

Resposta

(i) O domínio da função é .
(ii) A imagem da função é .
(iii) As curvas de nível são linhas retas da forma , onde está em .
(iv) A fronteira do domínio é formada pelas linhas e .
(v) O domínio é uma região fechada.
(vi) O domínio é ilimitado.

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Determine e esboce o domínio das funções abaixo
Determine os valores máximos e mínimos absolutos das seguintes funções definidas no conjunto compacto . Esboce o gráfico da região .
Determine e esboce o domínio das funções abaixo
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.