(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve a função
. O conteúdo está relacionado a funções de duas variáveis, onde precisamos entender domínio, imagem, curvas de nível, fronteira do domínio, se o domínio é aberto ou fechado, e se é limitado ou ilimitado. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de domínio de uma função, a função arco seno (
), e conceitos básicos de conjuntos no plano.
Passo 2
(i) Encontrar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No caso da função arco seno,
, o valor dentro da função precisa estar entre -1 e 1, ou seja,
.
Aplicando isso à nossa função:
Isso significa que para a função
estar definida,
deve estar nesse intervalo.
Passo 3
(ii) Encontrar a imagem da função
A imagem da função arco seno,
, está no intervalo
. Portanto, a imagem de
será:
Independente dos valores de
e
que satisfaçam o domínio, a saída da função sempre estará nesse intervalo.
Passo 4
(iii) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
. Para nossa função:
Aplicando a função seno em ambos os lados:
Isso representa uma família de linhas retas com inclinação 1 e interceptação
. Cada valor de
dentro da imagem corresponde a uma linha diferente.
Passo 5
(iv) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira do domínio são os pontos onde
e
. Essas são as linhas que delimitam onde a função começa e termina de estar definida:
Essas duas linhas paralelas definem as bordas do domínio da função.
Passo 6
(v) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
Uma região é considerada aberta se não inclui sua fronteira, fechada se inclui a fronteira, e nenhuma das duas se inclui parte da fronteira.
No nosso caso, o domínio inclui os valores onde
, ou seja, inclui as linhas onde
e
. Portanto, o domínio é uma região fechada.
Passo 7
(vi) Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado
Um domínio é limitado se está contido dentro de um círculo de raio finito, e ilimitado se se estende ao infinito em alguma direção.
No nosso caso,
está restrito entre -1 e 1, mas
e
podem ir ao infinito positivo ou negativo, desde que a diferença
permaneça dentro desse intervalo. Portanto, o domínio é ilimitado.
Resposta
(i) O domínio da função é
.
(ii) A imagem da função é
.
(iii) As curvas de nível são linhas retas da forma
, onde
está em
.
(iv) A fronteira do domínio é formada pelas linhas
e
.
(v) O domínio é uma região fechada.
(vi) O domínio é ilimitado.
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. Esboce o gráfico da região
.
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