Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=2^infty n(-3)^n4^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a série sumn=2^infty n(-3)^n4^n-1 converge ou diverge. Esse problema está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente aos testes de convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar o cálculo. A expressão dada é n(-3)^n4^n-1. Podemos reescrever 4^n-1 como 4^n4, assim:
n(-3)^n4^n-1 = n(-3)^n4^n4 = n(-3)^n cdot 44^n = n cdot (-3)^n4^n cdot 4
Isso simplifica para:
4n ( -34 )^n

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para determinar a convergência de séries onde os termos envolvem fatoriais ou potências. O teste diz que, se limitação do valor absoluto de an+1an for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an = 4n ( -34 )^n. Então:
an+1an = 4(n+1) ( -34 )^n+14n ( -34 )^n = n+1n cdot -34
Tomando o valor absoluto:
| an+1an | = n+1n cdot 34
Calculando o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty n+1n cdot 34 = 1 cdot 34 = 34

Passo 5

Como L = 34 < 1, pelo Teste da Razão, a série sumn=2^infty n(-3)^n4^n-1 converge.

Resposta

A série sumn=2^infty n(-3)^n4^n-1 converge.

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