Pondo
, deduza que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema pede. Aqui, estamos trabalhando com uma sequência recursiva definida por:
O objetivo é, ao definir
, mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender sequências recursivas e como manipular desigualdades envolvendo potências.
Passo 2
Primeiro, substituímos
na desigualdade dada. Sabemos que
, então:
Isso simplifica a expressão e facilita a manipulação da sequência.
Passo 3
Agora, vamos imaginar que
pode ser expressa em termos de
e
. Queremos mostrar que cada termo seguinte é uma potência de 2 do termo anterior, multiplicado por
.
Assumindo que para algum
, temos:
Vamos usar indução para provar isso.
Passo 4
Base da indução (n=1):
Substituindo
na expressão que queremos provar:
A desigualdade se mantém, já que
.
Passo 5
Passo indutivo:
Assumindo que a desigualdade vale para algum
, ou seja:
Queremos mostrar que:
Usando a relação recursiva:
Substituindo a hipótese de indução:
Portanto, a desigualdade também vale para
.
Resposta
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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Usando o Teorema de Green calcule:
é a curva circunferênca
, percorrida no sentido horário.
e a regra da cadeia para determinas as derivadas parciais indicadas
e
, encontre
e
encontre
e
.
Encontre os pontos críticos da função: