ε_{n+1} = ε_{n}^2 / (2 * x_{n}) < ε_{n}^2 / (2 * raiz(a))
Pondo b = 2 * raiz(a), deduza que
epsilon_{n+1} < b * (epsilon_{1}/b)^{2^{n}} (n=1,2,... )

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema pede. Aqui, estamos trabalhando com uma sequência recursiva definida por:
O objetivo é, ao definir , mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender sequências recursivas e como manipular desigualdades envolvendo potências.

Passo 2

Primeiro, substituímos na desigualdade dada. Sabemos que , então:
Isso simplifica a expressão e facilita a manipulação da sequência.

Passo 3

Agora, vamos imaginar que pode ser expressa em termos de e . Queremos mostrar que cada termo seguinte é uma potência de 2 do termo anterior, multiplicado por .
Assumindo que para algum , temos:
Vamos usar indução para provar isso.

Passo 4

Base da indução (n=1):
Substituindo na expressão que queremos provar:
A desigualdade se mantém, já que .

Passo 5

Passo indutivo:
Assumindo que a desigualdade vale para algum , ou seja:
Queremos mostrar que:
Usando a relação recursiva:
Substituindo a hipótese de indução:
Portanto, a desigualdade também vale para .

Resposta

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