e a regra da cadeia para determinas as derivadas parciais indicadas
e
, encontre
e
encontre
e
.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos dois exercícios que envolvem derivadas parciais e a regra da cadeia. No primeiro, vamos encontrar a derivada total de
em relação a
, onde
e
. No segundo, precisamos determinar as derivadas parciais de
em relação a
e
, dado que
e
.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro exercício. Primeiro, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivadas totais. A regra da cadeia nos diz que, para uma função
que depende de
e
, que por sua vez dependem de
, a derivada total de
em relação a
é:
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
nas derivadas parciais que calculamos:
Passo 5
Agora, multiplicamos cada derivada parcial pela respectiva derivada de
ou
em relação a
e somamos:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão:
Essa expressão pode ser expandida e simplificada conforme necessário, mas para o propósito deste exercício, podemos deixar a resposta nessa forma ou continuar a simplificação se for requerido.
Passo 7
Agora, vamos para o segundo exercício. Aqui, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, onde
e
.
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 8
Agora, para encontrar
e
, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
Passo 9
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 10
Substituindo tudo na expressão das derivadas parciais:
Agora, substituímos
e
na expressão:
Passo 11
Simplificando as expressões:
Para
:
Para
:
Resposta
- A derivada total de
em relação a é:
- As derivadas parciais de
são:
Exercícios relacionados
Pondo
, deduza que
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Encontre os pontos críticos da função:
Esboce o gráfico de uma função
que satisfaça todas as condições dadas a seguir:
-
, -
-
, mas não está definida em