e a regra da cadeia para determinas as derivadas parciais indicadas
x^2 y+x y^2, com x=2+t^4 e y=1-t^3, encontre d zd t
x^2 y^3, com x=s cos t e y=s sen t encontre partial zpartial s e partial zpartial t.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos dois exercícios que envolvem derivadas parciais e a regra da cadeia. No primeiro, vamos encontrar a derivada total de em relação a , onde e . No segundo, precisamos determinar as derivadas parciais de em relação a e , dado que e .

Passo 2

Vamos começar com o primeiro exercício. Primeiro, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivadas totais. A regra da cadeia nos diz que, para uma função dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt que depende de e , que por sua vez dependem de , a derivada total de em relação a é:

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x y + y^2 em relação a partial zpartial y = x^2 + 2x y e dxdt = ddt(2 + t^4) = 4t^3 :
dydt = ddt(1 - t^3) = -3t^2
Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Agora, substituímos partial zpartial x = 2(2 + t^4)(1 - t^3) + (1 - t^3)^2 e partial zpartial y = (2 + t^4)^2 + 2(2 + t^4)(1 - t^3) nas derivadas parciais que calculamos:

Passo 5

Agora, multiplicamos cada derivada parcial pela respectiva derivada de dzdt = [2(2 + t^4)(1 - t^3) + (1 - t^3)^2] cdot 4t^3 + [(2 + t^4)^2 + 2(2 + t^4)(1 - t^3)] cdot (-3t^2) ou em relação a e somamos:

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão:
dzdt = 4t^3 [2(2 + t^4)(1 - t^3) + (1 - t^3)^2] - 3t^2 [(2 + t^4)^2 + 2(2 + t^4)(1 - t^3)]
Essa expressão pode ser expandida e simplificada conforme necessário, mas para o propósito deste exercício, podemos deixar a resposta nessa forma ou continuar a simplificação se for requerido.

Passo 7

Agora, vamos para o segundo exercício. Aqui, precisamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x y^3 em relação a partial zpartial y = 3x^2 y^2 e , onde e .
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 8

Agora, para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t , usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:

Passo 9

Vamos calcular as derivadas necessárias:
partial xpartial s = cos t
partial ypartial s = sin t
partial xpartial t = -s sin t
partial ypartial t = s cos t

Passo 10

Substituindo tudo na expressão das derivadas parciais:
partial zpartial s = 2x y^3 cdot cos t + 3x^2 y^2 cdot sin t
partial zpartial t = 2x y^3 cdot (-s sin t) + 3x^2 y^2 cdot (s cos t)
Agora, substituímos partial zpartial s = 2(s cos t)(s sin t)^3 cos t + 3(s cos t)^2(s sin t)^2 sin t e partial zpartial t = 2(s cos t)(s sin t)^3 (-s sin t) + 3(s cos t)^2(s sin t)^2 (s cos t) na expressão:

Passo 11

Simplificando as expressões:
Para partial zpartial s = 2s cos t cdot s^3 sin^3 t cdot cos t + 3s^2 cos^2 t cdot s^2 sin^2 t cdot sin t :
= 2s^4 cos^2 t sin^3 t + 3s^4 cos^2 t sin^3 t
= 5s^4 cos^2 t sin^3 t
partial zpartial t = 2s cos t cdot s^3 sin^3 t cdot (-s sin t) + 3s^2 cos^2 t cdot s^2 sin^2 t cdot s cos t
Para = -2s^5 cos t sin^4 t + 3s^5 cos^3 t sin^2 t :

Resposta

  1. A derivada total de dzdt = 4t^3 [2(2 + t^4)(1 - t^3) + (1 - t^3)^2] - 3t^2 [(2 + t^4)^2 + 2(2 + t^4)(1 - t^3)] em relação a partial zpartial s = 5s^4 cos^2 t sin^3 t é:
partial zpartial t = -2s^5 cos t sin^4 t + 3s^5 cos^3 t sin^2 t
  1. As derivadas parciais de são:

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