e a regra da cadeia para determinas as derivadas parciais indicadas
e , encontre
e encontre e .

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos dois exercícios que envolvem derivadas parciais e a regra da cadeia. No primeiro, vamos encontrar a derivada total de em relação a , onde e . No segundo, precisamos determinar as derivadas parciais de em relação a e , dado que e .

Passo 2

Vamos começar com o primeiro exercício. Primeiro, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivadas totais. A regra da cadeia nos diz que, para uma função que depende de e , que por sua vez dependem de , a derivada total de em relação a é:

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :
Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Agora, substituímos e nas derivadas parciais que calculamos:

Passo 5

Agora, multiplicamos cada derivada parcial pela respectiva derivada de ou em relação a e somamos:

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão:
Essa expressão pode ser expandida e simplificada conforme necessário, mas para o propósito deste exercício, podemos deixar a resposta nessa forma ou continuar a simplificação se for requerido.

Passo 7

Agora, vamos para o segundo exercício. Aqui, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , onde e .
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 8

Agora, para encontrar e , usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:

Passo 9

Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 10

Substituindo tudo na expressão das derivadas parciais:
Agora, substituímos e na expressão:

Passo 11

Simplificando as expressões:
Para :
Para :

Resposta

  1. A derivada total de em relação a é:
  1. As derivadas parciais de são:

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  • , mas não está definida em