Estude com relação a máximos e mínimos locais a função:
(I)
(II)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre máximos e mínimos locais. A gente vai estudar duas funções de três variáveis cada, , e descobrir onde elas têm pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariado, especialmente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a Função (I):
Como essa é uma função quadrática, podemos encontrar seus pontos críticos calculando as derivadas parciais em relação a , e e igualando a zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Resolvendo a equação (3) para :
Passo 6
Agora, vamos resolver as equações (1) e (2) para e . Da equação (1):
Da equação (2):
Multiplicando a equação (1’) por 4:
Subtraindo a equação (1’’) da equação (2’):
Substituindo na equação (1’):
Passo 7
Então, o ponto crítico é . Para saber se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas.
Passo 8
Calculando as segundas derivadas:
Passo 9
A matriz Hessiana fica:
Passo 10
Vamos calcular os determinantes principais para aplicar o teste da segunda derivada:
(positivo)
(positivo)
(positivo)
Passo 11
Como todos os determinantes principais são positivos e a matriz Hessiana é definida positiva, o ponto crítico é um mínimo local.