Estude com relação a máximos e mínimos locais a função:
(I) f(x, y, z) = x^2 + 5y^2 + 2z^2 + 4xy - 2x - 4y - 8z + 2
(II) f(x, y, z) = x^3 + 2xy + y^2 + z^2 - 5x - 4z

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre máximos e mínimos locais. A gente vai estudar duas funções de três variáveis cada, , e descobrir onde elas têm pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariado, especialmente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a Função (I):
Como essa é uma função quadrática, podemos encontrar seus pontos críticos calculando as derivadas parciais em relação a , e e igualando a zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Resolvendo a equação (3) para :

Passo 6

Agora, vamos resolver as equações (1) e (2) para e . Da equação (1):
Da equação (2):
Multiplicando a equação (1’) por 4:
Subtraindo a equação (1’’) da equação (2’):
Substituindo na equação (1’):

Passo 7

Então, o ponto crítico é . Para saber se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas.

Passo 8

Calculando as segundas derivadas:

Passo 9

A matriz Hessiana fica:

Passo 10

Vamos calcular os determinantes principais para aplicar o teste da segunda derivada:
  • (positivo)
  • (positivo)
  • (positivo)

Passo 11

Como todos os determinantes principais são positivos e a matriz Hessiana é definida positiva, o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função (I) tem um mínimo local no ponto .

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