Em relação a matriz Hessiana de f no ponto crítico, estabeleça condições suficientes para garantir que o ponto é um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a matriz Hessiana de uma função em um ponto crítico e estabelecer condições que garantam que esse ponto seja um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz Hessiana e como ela nos ajuda a classificar pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função ocorre onde todas as derivadas parciais de primeira ordem são zero, ou seja, .

Passo 3

A matriz Hessiana, representada por , é uma matriz quadrada de segunda derivadas parciais de . Para uma função de duas variáveis, por exemplo, fica assim:
Ela nos dá informações sobre a curvatura da função ao redor do ponto crítico.

Passo 4

Agora, para classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana, vamos verificar sua definitude:
  • Matriz Definida Positiva: Se todos os autovalores de são positivos, o ponto crítico é um mínimo local.
  • Matriz Definida Negativa: Se todos os autovalores de são negativos, o ponto crítico é um máximo local.
  • Matriz Indefinida: Se tiver autovalores de sinais diferentes, o ponto crítico é um ponto de sela.

Passo 5

Para verificar a definitude da matriz Hessiana, podemos usar os determinantes principais:
  1. Calcule o determinante do primeiro principal menor .
  2. Calcule o determinante da matriz completa .
  • Se e , então é definida positiva → mínimo local.
  • Se e , então é definida negativa → máximo local.
  • Se , então é indefinida → ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 6

Resumindo, para garantir o tipo de ponto crítico com a matriz Hessiana:
  • Mínimo Local: e .
  • Máximo Local: e .
  • Ponto de Sela: .

Resposta

As condições suficientes para garantir o tipo do ponto crítico são:
  • Mínimo Local: Se e .
  • Máximo Local: Se e .
  • Ponto de Sela: Se .

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