Em relação a matriz Hessiana de
no ponto crítico, estabeleça condições suficientes para garantir que o ponto é um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a matriz Hessiana de uma função
em um ponto crítico e estabelecer condições que garantam que esse ponto seja um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz Hessiana e como ela nos ajuda a classificar pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função
ocorre onde todas as derivadas parciais de primeira ordem são zero, ou seja,
.
Passo 3
A matriz Hessiana, representada por
, é uma matriz quadrada de segunda derivadas parciais de
. Para uma função de duas variáveis, por exemplo, fica assim:
Ela nos dá informações sobre a curvatura da função ao redor do ponto crítico.
Passo 4
Agora, para classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana, vamos verificar sua definitude:
- Matriz Definida Positiva: Se todos os autovalores de
são positivos, o ponto crítico é um mínimo local. - Matriz Definida Negativa: Se todos os autovalores de
são negativos, o ponto crítico é um máximo local. - Matriz Indefinida: Se
tiver autovalores de sinais diferentes, o ponto crítico é um ponto de sela.
Passo 5
Para verificar a definitude da matriz Hessiana, podemos usar os determinantes principais:
- Calcule o determinante do primeiro principal menor
. - Calcule o determinante da matriz completa
.
- Se
e , então é definida positiva → mínimo local. - Se
e , então é definida negativa → máximo local. - Se
, então é indefinida → ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 6
Resumindo, para garantir o tipo de ponto crítico com a matriz Hessiana:
- Mínimo Local:
e . - Máximo Local:
e . - Ponto de Sela:
.
Resposta
As condições suficientes para garantir o tipo do ponto crítico são:
- Mínimo Local: Se
e . - Máximo Local: Se
e . - Ponto de Sela: Se
.