Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Envolvido
Estamos aqui para descobrir os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo de Funções de Várias Variáveis, onde vamos usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos da função. Esses pontos críticos nos ajudarão a determinar onde a função atinge seus máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Encontrando as Derivadas Parciais
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 3

Encontrando os Pontos Críticos
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, igualamos as derivadas a zero:
Agora, substituímos a expressão de na segunda equação:
Isso nos dá:
As soluções são e . Porém, não está no domínio da função (pois teríamos divisão por zero). Portanto, temos:
Assim, o único ponto crítico é .

Passo 4

Analisando a Natureza do Ponto Crítico
Para determinar se o ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, utilizamos a Matriz Hessiana e o Critério da Segunda Derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
No ponto , temos:
Calculamos o determinante da Hessiana ( ):
Como e , isso indica que é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função possui um único ponto crítico em , que é um ponto de mínimo local.

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