Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Envolvido
Estamos aqui para descobrir os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo de Funções de Várias Variáveis, onde vamos usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos da função. Esses pontos críticos nos ajudarão a determinar onde a função atinge seus máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Encontrando as Derivadas Parciais
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 3
Encontrando os Pontos Críticos
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, igualamos as derivadas a zero:
Agora, substituímos a expressão de
na segunda equação:
Isso nos dá:
As soluções são
e
. Porém,
não está no domínio da função (pois teríamos divisão por zero). Portanto, temos:
Assim, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Analisando a Natureza do Ponto Crítico
Para determinar se o ponto
é um máximo, mínimo ou ponto de sela, utilizamos a Matriz Hessiana e o Critério da Segunda Derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
No ponto
, temos:
Calculamos o determinante da Hessiana (
):
Como
e
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Resposta
A função
possui um único ponto crítico em
, que é um ponto de mínimo local.
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