Suponha que seja um ponto crítico de uma função com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre ?

Passo 1

A gente tem um ponto crítico da função no ponto . Isso significa que as derivadas parciais de primeira ordem em e são zero nesse ponto. A matéria que vamos precisar aqui é o Teste da Derivada Segundária para classificar o tipo de ponto crítico. Vamos utilizar as derivadas de segunda ordem fornecidas: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o discriminante , que é dado por:
Substituindo os valores:
O discriminante nos ajuda a determinar se o ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou ponto de sela.

Passo 3

Com o discriminante que é maior que zero, e como é negativo, segundo o Teste da Derivada Segundária, isso indica que o ponto é um ponto de máximo relativo para a função .

Resposta

O ponto crítico é um ponto de máximo relativo da função .

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( 1,0 ponto) Ache, por integração dupla - coordenadas polares, a área da região compreendida por uma folha da rosácea .
Calcult an lanteepais
b)
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Determine a menor distância entre o ponto e o plano .