Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=1^infty 12 n+3. Dica: use o teste da comparação no limite com a série harmônica sumn=1^infty 1n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste da comparação, especificamente o teste da comparação no limite, e comparar com a famosa série harmônica . A ideia é ver se a série que estamos estudando se comporta de forma semelhante à série harmônica, que a gente já sabe que diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da comparação no limite. Ele funciona assim:
Se a gente tem duas séries positivas e , e calcula o limite :
  • Se , ou seja, o limite é um número positivo e finito, então as duas séries convergem ou divergem juntas.
  • Se e converge, então também converge.
  • Se e diverge, então também diverge.
No nosso caso, vamos definir:
  • (a série que queremos testar)
  • (a série harmônica)

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite limn to infty n2n + 3 = limn to infty 12 + 3n = 12 + 0 = 12 .
Para resolver isso, dividimos o numerador e o denominador por :
Então, , que está entre 0 e infinito.

Passo 4

Como o limite é um número positivo e finito, pelo teste da comparação no limite, a série vai se comportar da mesma forma que a série harmônica .
A série harmônica é conhecida por diverge. Portanto, a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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