Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem.
. Dica: use o teste da comparação no limite com a série harmônica
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste da comparação, especificamente o teste da comparação no limite, e comparar com a famosa série harmônica
. A ideia é ver se a série que estamos estudando se comporta de forma semelhante à série harmônica, que a gente já sabe que diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da comparação no limite. Ele funciona assim:
Se a gente tem duas séries positivas
e
, e calcula o limite
:
- Se
, ou seja, o limite é um número positivo e finito, então as duas séries convergem ou divergem juntas. - Se
e converge, então também converge. - Se
e diverge, então também diverge.
No nosso caso, vamos definir:
-
(a série que queremos testar) -
(a série harmônica)
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite
.
Para resolver isso, dividimos o numerador e o denominador por
:
Então,
, que está entre 0 e infinito.
Passo 4
Como o limite
é um número positivo e finito, pelo teste da comparação no limite, a série
vai se comportar da mesma forma que a série harmônica
.
A série harmônica é conhecida por diverge. Portanto, a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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. Determine se a sequência
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Seja
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