( 0,2 pt ) Determine os valores de a in R de modo que a função f: R -> R definida por f(x) = { x^2 + a^2 se x < 1; 1 se x = 1; x + 4a se x > 1 }
b) Seja contínua em x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os valores de que fazem a função ser contínua em . Aqui, estamos lidando com funções definidas por partes e com o conceito de continuidade. Vamos precisar entender como a função se comporta perto de e usar os limites para garantir que não haja “saltos” na função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando tende a existe.
  3. O limite de quando tende a é igual a .
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos verificar cada condição:
  1. está definida, conforme dado na função.
  2. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 4

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Para , .
Portanto,

Passo 5

Calculando o limite pela direita ( ):
Para , .
Portanto,

Passo 6

Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e iguais a .
Então, temos:

Passo 7

Resolvendo a equação:

Passo 8

As soluções da equação são:

Resposta

Os valores de que tornam a função contínua em são e .

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