Utilizando os testes de
e
derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar máximos e mínimos de uma função de duas variáveis usando os testes de primeira e segunda derivadas. A função que temos é:
Para isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função, que são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Depois, vamos usar a segunda derivada para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde
e
.
Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, somar as duas equações para eliminar
:
Passo 5
Com
, vamos substituir na segunda equação para encontrar
:
Passo 6
Então, o ponto crítico é
. Agora, vamos usar a segunda derivada para determinar a natureza desse ponto.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 7
Calculamos o discriminante
usando a fórmula:
Passo 8
Agora, analisamos o valor de
:
- Se
e , temos um mínimo local. - Se
e , temos um máximo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então temos um mínimo local no ponto
.
Resposta
A função
possui um ponto de mínimo local em
.