Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar máximos e mínimos de uma função de duas variáveis usando os testes de primeira e segunda derivadas. A função que temos é:
Para isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função, que são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Depois, vamos usar a segunda derivada para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde e .
Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, somar as duas equações para eliminar :

Passo 5

Com , vamos substituir na segunda equação para encontrar :

Passo 6

Então, o ponto crítico é . Agora, vamos usar a segunda derivada para determinar a natureza desse ponto.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de segunda ordem:

Passo 7

Calculamos o discriminante usando a fórmula:

Passo 8

Agora, analisamos o valor de :
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , então temos um mínimo local no ponto .

Resposta

A função possui um ponto de mínimo local em .

Exercícios relacionados

pt) Calcule os limites:
Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).
( ) Determine os valores de de modo que a função definida por
b) Seja contínua em .
Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).