Determine os valores de a, de modo que o Sistema Linear
l x+y-z=1 2 x+3 y+a z=3 x+a y+3 z=2
Tenha:
a) Nenhuma Solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z). A nossa missão é encontrar os valores de a que fazem esse sistema não ter nenhuma solução. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com determinantes e matrizes, conceitos da álgebra linear que ajudam a entender se o sistema tem solução ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 1 & -1 & | & 1 2 & 3 & a & | & 3 1 & a & 3 & | & 2

Passo 3

Para verificar se o sistema tem solução, vamos olhar o determinante da matriz dos coeficientes:
1 & 1 & -1 2 & 3 & a 1 & a & 3
Se o determinante for zero, pode ser que o sistema não tenha solução ou tenha infinitas soluções. Vamos calcular esse determinante.

Passo 4

Calculando o determinante usando a regra de Sarrus:
Det &= 1 cdot 3 cdot 3 + 1 cdot a cdot 1 + (-1) cdot 2 cdot a & - (-1) cdot 3 cdot 1 - 1 cdot a cdot 2 - 1 cdot 3 cdot 3 &= 9 + a - 2a + 3 - 2a - 9 &= (9 - 9) + (a - 2a - 2a) + 3 &= 0 - 3a + 3 &= 3 - 3a

Passo 5

Para o sistema não ter solução única, o determinante deve ser zero:
3 - 3a = 0
Resolvendo para a:
-3a = -3 a = 1

Passo 6

Agora, precisamos verificar se quando a = 1 o sistema realmente não tem solução. Substituindo a = 1 nas equações:
x + y - z = 1 2x + 3y + z = 3 x + y + 3z = 2
Vamos resolver esse sistema para ver se há inconsistências.

Passo 7

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2x + 3y + z) - (x + y - z) = 3 - 1 x + 2y + 2z = 2 (Equação 4) çã
Subtraindo a primeira equação da terceira:
(x + y + 3z) - (x + y - z) = 2 - 1 0x + 0y + 4z = 1 4z = 1 z = 14
Agora, substituindo z = 14 na Equação 4:
x + 2y + 2(14) = 2 x + 2y + 12 = 2 x + 2y = 32 (Equação 5) çã
E na primeira equação:
x + y - 14 = 1 x + y = 54 (Equação 6) çã
Subtraindo a Equação 6 da Equação 5:
(x + 2y) - (x + y) = 32 - 54 y = 32 - 54 y = 64 - 54 y = 14
Substituindo y = 14 na Equação 6:
x + 14 = 54 x = 1

Passo 8

Com x = 1, y = 14 e z = 14, vemos que existe uma solução quando a = 1. Isso significa que o sistema tem solução única para a = 1, e queremos valores de a que façam o sistema não ter solução.

Resposta

Não existe valor de a que faça o sistema não ter solução.

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