Seja o espaço das funções definidas de sobre . Para cada a função é definida por para cada . Se , para cada defina por para cada . Com estas operações é um espaço vetorial sobre . Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: estamos trabalhando com o espaço das funções de para . Queremos verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições necessárias para que um conjunto seja considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: Ou seja, a função que atribui zero para todo deve estar em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para .
Passo 3
1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é a função tal que para todo .
Vamos ver se está em :
Mas, por definição, para estar em , a função deve satisfazer . Como , não está em .
Passo 4
Conclusão:
Como o vetor zero não pertence a , já podemos concluir que não é um subespaço de . Não é necessário verificar as outras condições, pois todas devem ser satisfeitas para que seja um subespaço.