Seja
o espaço das funções definidas de
sobre
. Para cada
a função
é definida por
para cada
. Se
, para cada
defina
por
para cada
. Com estas operações
é um espaço vetorial sobre
. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: estamos trabalhando com o espaço
das funções de
para
. Queremos verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições necessárias para que um conjunto seja considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de um espaço vetorial
deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: Ou seja, a função que atribui zero para todo
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para
.
Passo 3
1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em
é a função
tal que
para todo
.
Vamos ver se
está em
:
Mas, por definição, para estar em
, a função deve satisfazer
. Como
,
não está em
.
Passo 4
Conclusão:
Como o vetor zero não pertence a
, já podemos concluir que
não é um subespaço de
. Não é necessário verificar as outras condições, pois todas devem ser satisfeitas para que
seja um subespaço.