Seja V o espaço das funções definidas de R sobre R. Para cada f, g in V a função f+g: R R é definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x) para cada x in R. Se alpha in R, para cada f defina alpha cdot f: R R por (alpha cdot f)(x)=alpha f(x) para cada x in R. Com estas operações V é um espaço vetorial sobre R. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de V.
W1=f in V ; f(1)=1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: estamos trabalhando com o espaço das funções de para . Queremos verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições necessárias para que um conjunto seja considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, a função que atribui zero para todo deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para .

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em f0(1) = 0 é a função tal que para todo .
Vamos ver se está em :
Mas, por definição, para estar em , a função deve satisfazer . Como , não está em .

Passo 4

Conclusão:
Como o vetor zero não pertence a , já podemos concluir que não é um subespaço de . Não é necessário verificar as outras condições, pois todas devem ser satisfeitas para que seja um subespaço.

Resposta

não é um subespaço de .

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