Determine para quais valores de
cada integral abaixo converge e, nesse caso, calcule a integral.
(a)
(b)
13
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a)
(a)
(b)
13
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses exercícios juntos! O que queremos fazer aqui é descobrir para quais valores de
as integrais dadas convergem e, se convergirem, calcular o valor delas. Vamos precisar entender um pouco sobre integração e convergência de integrais.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro exercício:
12(a)
Aqui, estamos integrando a função
de 0 a 1. Precisamos descobrir para quais valores de
essa integral dá um número finito (ou seja, converge).
Passo 3
Primeiro, vamos lembrar que a integral de
é dada por:
No nosso caso,
. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos analisar o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de 0 e de 1.
Para
:
Para
:
Aqui, depende do expoente
:
- Se
(ou seja, ), tende a 0. - Se
(ou seja, ), tende ao infinito.
Passo 5
Portanto, a integral converge se
e diverge se
.
Quando
, o valor da integral é:
Passo 6
Agora, vamos para o segundo exercício:
12(b)
Aqui, estamos integrando
de 1 até o infinito. Vamos ver para quais valores de
essa integral converge.
Passo 7
Usando a mesma fórmula de integração:
Passo 8
Agora, avaliamos os limites:
Para
:
- Se
(ou seja, ), tende a 0. - Se
(ou seja, ), tende ao infinito.
Para
:
Passo 9
Portanto, a integral converge se
e diverge se
.
Quando
, o valor da integral é:
Passo 10
Por fim, vamos para o terceiro exercício:
13(a)
Queremos saber se essa integral converge ou diverge e, se convergir, calcular seu valor.
Passo 11
A função
é uma função periódica que oscila entre -1 e 1. Ao integrar uma função que oscila indefinidamente sem decair a zero, a integral pode não se estabilizar para um valor finito.
Para verificar, vamos tentar encontrar o limite:
Passo 12
O termo
oscila entre -1 e 1 conforme
tende ao infinito. Isso significa que o limite não existe, pois não se aproxima de nenhum valor específico.
Resposta
- 12(a): A integral
converge para e seu valor é . - 12(b): A integral
converge para e seu valor é . - 13(a): A integral
diverge, ou seja, não converge para nenhum valor finito.
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