Determine para quais valores de p>0 cada integral abaixo converge e, nesse caso, calcule a integral.
(a) integral0^1 1x^p d x
(b) integral1^infty 1x^p d x
13
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a) integral0^infty sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses exercícios juntos! O que queremos fazer aqui é descobrir para quais valores de as integrais dadas convergem e, se convergirem, calcular o valor delas. Vamos precisar entender um pouco sobre integração e convergência de integrais.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro exercício:
12(a)
Aqui, estamos integrando a função de 0 a 1. Precisamos descobrir para quais valores de essa integral dá um número finito (ou seja, converge).

Passo 3

Primeiro, vamos lembrar que a integral de integral x^n dx = x^n+1n+1 + C é dada por:
integral0^1 x^-p dx = [ x^-p + 1-p + 1 ]0^1
No nosso caso, . Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos analisar o comportamento dessa expressão quando 1^-p + 1-p + 1 = 11 - p se aproxima de 0 e de 1.
Para limx to 0^+ x^-p + 1-p + 1 :
Para :
Aqui, depende do expoente :
  • Se (ou seja, ), tende a 0.
  • Se (ou seja, ), tende ao infinito.

Passo 5

Portanto, a integral converge se 11 - p e diverge se .
Quando , o valor da integral é:

Passo 6

Agora, vamos para o segundo exercício:
12(b)
Aqui, estamos integrando de 1 até o infinito. Vamos ver para quais valores de essa integral converge.

Passo 7

Usando a mesma fórmula de integração:
integral1^infty x^-p dx = [ x^-p + 1-p + 1 ]1^infty

Passo 8

Agora, avaliamos os limites:
Para limx to infty x^-p + 1-p + 1 :
1^-p + 1-p + 1 = 11 - p
  • Se (ou seja, ), tende a 0.
  • Se (ou seja, ), tende ao infinito.
Para :

Passo 9

Portanto, a integral converge se 1p - 1 e diverge se .
Quando , o valor da integral é:

Passo 10

Por fim, vamos para o terceiro exercício:
13(a)
Queremos saber se essa integral converge ou diverge e, se convergir, calcular seu valor.

Passo 11

A função integral0^infty sin(x) dx = limb to infty [ -cos(x) ]0^b = limb to infty (-cos(b) + cos(0)) = limb to infty (-cos(b) + 1) é uma função periódica que oscila entre -1 e 1. Ao integrar uma função que oscila indefinidamente sem decair a zero, a integral pode não se estabilizar para um valor finito.
Para verificar, vamos tentar encontrar o limite:

Passo 12

O termo oscila entre -1 e 1 conforme tende ao infinito. Isso significa que o limite não existe, pois não se aproxima de nenhum valor específico.

Resposta

  • 12(a): A integral converge para e seu valor é .
  • 12(b): A integral converge para e seu valor é .
  • 13(a): A integral diverge, ou seja, não converge para nenhum valor finito.

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