Determine para quais valores de cada integral abaixo converge e, nesse caso, calcule a integral.
(a)
(b)
13
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses exercícios juntos! O que queremos fazer aqui é descobrir para quais valores de as integrais dadas convergem e, se convergirem, calcular o valor delas. Vamos precisar entender um pouco sobre integração e convergência de integrais.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro exercício:
12(a)
Aqui, estamos integrando a função de 0 a 1. Precisamos descobrir para quais valores de essa integral dá um número finito (ou seja, converge).

Passo 3

Primeiro, vamos lembrar que a integral de é dada por:
No nosso caso, . Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos analisar o comportamento dessa expressão quando se aproxima de 0 e de 1.
Para :
Para :
Aqui, depende do expoente :
  • Se (ou seja, ), tende a 0.
  • Se (ou seja, ), tende ao infinito.

Passo 5

Portanto, a integral converge se e diverge se .
Quando , o valor da integral é:

Passo 6

Agora, vamos para o segundo exercício:
12(b)
Aqui, estamos integrando de 1 até o infinito. Vamos ver para quais valores de essa integral converge.

Passo 7

Usando a mesma fórmula de integração:

Passo 8

Agora, avaliamos os limites:
Para :
  • Se (ou seja, ), tende a 0.
  • Se (ou seja, ), tende ao infinito.
Para :

Passo 9

Portanto, a integral converge se e diverge se .
Quando , o valor da integral é:

Passo 10

Por fim, vamos para o terceiro exercício:
13(a)
Queremos saber se essa integral converge ou diverge e, se convergir, calcular seu valor.

Passo 11

A função é uma função periódica que oscila entre -1 e 1. Ao integrar uma função que oscila indefinidamente sem decair a zero, a integral pode não se estabilizar para um valor finito.
Para verificar, vamos tentar encontrar o limite:

Passo 12

O termo oscila entre -1 e 1 conforme tende ao infinito. Isso significa que o limite não existe, pois não se aproxima de nenhum valor específico.

Resposta

  • 12(a): A integral converge para e seu valor é .
  • 12(b): A integral converge para e seu valor é .
  • 13(a): A integral diverge, ou seja, não converge para nenhum valor finito.

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