Determine para quais valores , a série é convergente e para quais é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar para quais valores de a série
é convergente ou divergente. Vamos precisar usar o Teste da Integral para séries, que nos ajuda a decidir se uma série infinita converge ou não, baseado em uma função contínua, positiva e decrescente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teste da Integral. Ele afirma que, para uma função contínua, positiva e decrescente para (onde é algum número real), a série
converge se e somente se a integral
também converge. Então, nosso plano é transformar a série em uma integral e verificar sua convergência.
Passo 3
Vamos identificar a função correspondente à série:
Agora, aplicamos o Teste da Integral verificando a convergência da seguinte integral:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
Então, calculamos a derivada de em relação a :
Isso nos dá:
Agora, substituindo na integral original:
Passo 5
Agora, a integral se simplifica para:
Essa é uma integral de potência simples. Vamos lembrar que:
Se , então:
Se , então:
Passo 6
Vamos analisar os dois casos:
Caso 1:
A integral se torna:
Quando :
Se (ou seja, ), então , e a integral converge.
Se (ou seja, ), então cresce sem limite, e a integral diverge.
Caso 2:
A integral se torna:
Quando , , então a integral diverge.
Passo 7
Resumindo:
Para , a integral converge, o que implica que a série também converge.
Para , a integral diverge, e portanto, a série também diverge.
Resposta
A série
converge para todos os valores de e diverge para .