Determine para quais valores p>0, a série sumk=3^infty 1k ln (k)[ln (ln (k))]^p é convergente e para quais é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar para quais valores de sumk=3^infty 1k ln(k) [ln(ln(k))]^p a série
é convergente ou divergente. Vamos precisar usar o Teste da Integral para séries, que nos ajuda a decidir se uma série infinita converge ou não, baseado em uma função contínua, positiva e decrescente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teste da Integral. Ele afirma que, para uma função sumk=N^infty f(k) contínua, positiva e decrescente para integralN^infty f(x) , dx (onde é algum número real), a série
converge se e somente se a integral
também converge. Então, nosso plano é transformar a série em uma integral e verificar sua convergência.

Passo 3

Vamos identificar a função f(x) = 1x ln(x) [ln(ln(x))]^p correspondente à série:
integral3^infty 1x ln(x) [ln(ln(x))]^p , dx
Agora, aplicamos o Teste da Integral verificando a convergência da seguinte integral:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
u = ln(ln(x))
Então, calculamos a derivada de du = 1ln(x) cdot 1x , dx em relação a du = 1x ln(x) , dx :
integral 1x ln(x) [ln(ln(x))]^p , dx = integral 1u^p , du
Isso nos dá:
Agora, substituindo na integral original:

Passo 5

Agora, a integral se simplifica para:
integral 1u^p , du
Essa é uma integral de potência simples. Vamos lembrar que:
  • Se integral 1u^p , du = u^1 - p1 - p + C , então:
integral 1u , du = ln|u| + C
  • Se , então:

Passo 6

Vamos analisar os dois casos:
Caso 1: u^1 - p1 - p |u = ln(ln(3))^u to infty
A integral se torna:
ln(u) |u = ln(ln(3))^u to infty
Quando :
  • Se (ou seja, ), então , e a integral converge.
  • Se (ou seja, ), então cresce sem limite, e a integral diverge.
Caso 2:
A integral se torna:
Quando , , então a integral diverge.

Passo 7

Resumindo:
  • Para , a integral converge, o que implica que a série também converge.
  • Para , a integral diverge, e portanto, a série também diverge.

Resposta

A série
sumk=3^infty 1k ln(k) [ln(ln(k))]^p
converge para todos os valores de e diverge para .

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