Seja a região do plano limitada pelas curvas e e pelas reta . Determine o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o volume de um sólido obtido ao girar uma região em torno da reta . A região está limitada pelas curvas , e pela reta . Para resolver isso, vamos usar o método dos cascos cilíndricos, que é uma técnica de cálculo usada para determinar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração.
Temos:
Vamos encontrar onde e se encontram:
Então, a região está delimitada por (eixo y), e , e vai de até .

Passo 3

Agora, vamos configurar o método dos cascos cilíndricos para calcular o volume. Esse método é útil quando o sólido é gerado pela rotação em torno de uma linha vertical, como no nosso caso.
A fórmula geral do método dos cascos cilíndricos é:
Onde:
  • é a distância do casquinho à reta de rotação ( )
  • é a altura do casquinho, que corresponde à largura da região para um valor específico de

Passo 4

Vamos determinar e :
  • Distância : Como estamos girando em torno de , e a posição de cada casquinho é dada por (da inversa de ), a distância será:
  • Altura : É a extensão em para cada , que vai de até , então:
Agora, estabelecemos os limites de integração. Como vai de (quando ) até , nossos limites são de 0 a 2.
Substituindo na fórmula:
Simplificando dentro da integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Integrando cada termo:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região em torno da reta é unidades cúbicas.

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