Seja
a região do plano
limitada pelas curvas
e
e pelas reta
. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o volume de um sólido obtido ao girar uma região
em torno da reta
. A região
está limitada pelas curvas
,
e pela reta
. Para resolver isso, vamos usar o método dos cascos cilíndricos, que é uma técnica de cálculo usada para determinar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração.
Temos:
Vamos encontrar onde
e
se encontram:
Então, a região
está delimitada por
(eixo y),
e
, e vai de
até
.
Passo 3
Agora, vamos configurar o método dos cascos cilíndricos para calcular o volume. Esse método é útil quando o sólido é gerado pela rotação em torno de uma linha vertical, como
no nosso caso.
A fórmula geral do método dos cascos cilíndricos é:
Onde:
-
é a distância do casquinho à reta de rotação ( ) -
é a altura do casquinho, que corresponde à largura da região para um valor específico de
Passo 4
Vamos determinar
e
:
- Distância
: Como estamos girando em torno de , e a posição de cada casquinho é dada por (da inversa de ), a distância será:
- Altura
: É a extensão em para cada , que vai de até , então:
Agora, estabelecemos os limites de integração. Como
vai de
(quando
) até
, nossos limites são de 0 a 2.
Substituindo na fórmula:
Simplificando dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Integrando cada termo:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno da reta
é
unidades cúbicas.
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