Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores x in R há convergência nas séries abaixo: sumn=1^infty x^n2^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar os testes da razão e da raiz para descobrir para quais valores de na reta real ( ) a série converge. Vamos precisar entender como funcionam esses testes e aplicá-los nessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o teste da razão. Esse teste é ótimo para séries com termos que envolvem potências ou fatorias. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos:
L = limn to infty | an+1an |
Se an+1an = x^n+12^n+1x^n2^n = x^n+1 cdot 2^nx^n cdot 2^n+1 = x2 , a série converge; se L = | x2 | , diverge; e se | x2 | < 1 implies |x| < 2 , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular a razão:
Então, o limite é:
Para a série convergir pelo teste da razão, precisamos que :

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste é útil também para séries com termos que envolvem potências. Calculamos a raiz enésima do valor absoluto do termo geral e observamos o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Se raiz[n]|an| = raiz[n]| x^n2^n | = |x|2 , a série converge; se L = |x|2 , diverge; e se |x|2 < 1 implies |x| < 2 , o teste não ajuda.
Para nossa série, . Calculando a raiz enésima:
Então, o limite é:
Para convergência pelo teste da raiz, precisamos que :

Resposta

Ambos os testes indicam que a série converge para todos os valores de reais tais que .

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