Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores há convergência nas séries abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar os testes da razão e da raiz para descobrir para quais valores de na reta real ( ) a série converge. Vamos precisar entender como funcionam esses testes e aplicá-los nessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o teste da razão. Esse teste é ótimo para séries com termos que envolvem potências ou fatorias. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular a razão:
Então, o limite é:
Para a série convergir pelo teste da razão, precisamos que :

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste é útil também para séries com termos que envolvem potências. Calculamos a raiz enésima do valor absoluto do termo geral e observamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não ajuda.
Para nossa série, . Calculando a raiz enésima:
Então, o limite é:
Para convergência pelo teste da raiz, precisamos que :

Resposta

Ambos os testes indicam que a série converge para todos os valores de reais tais que .

Exercícios relacionados

Determine para quais valores , a série é convergente e para quais é divergente.
Estude a convergência das séries abaixo: .
Seja a região do plano limitada pelas curvas e e pelas reta . Determine o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta .
Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores há convergência nas séries abaixo: