Estude a convergência das séries abaixo:
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Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar a convergência:
. O conteúdo aqui envolve séries e testes de convergência. Vamos precisar entender como os termos da série se comportam quando
fica muito grande e aplicar algum teste que nos ajude a decidir se a série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Denominador:
Quando
é grande, os termos de maior grau predominam. Então, podemos aproximar:
Assim, o termo geral aproxima-se de:
Passo 3
Com essa aproximação, vamos comparar nossa série com a série conhecida
, que é a série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge. Vamos usar o Teste da Comparação para verificar a convergência da nossa série original.
Passo 4
Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos ver se existe uma constante
tal que:
Como vimos no Passo 2, para
grande, o termo geral da nossa série é aproximadamente
, e a série comparadora
diverge.
Passo 5
Como o termo geral da nossa série é semelhante ao da série harmônica que diverge, e sendo maior ou igual para
grande, pelo Teste da Comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
não converge; ela diverge.
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Estude a convergência das séries abaixo:
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Determine para quais valores
, a série
é convergente e para quais é divergente.