Estude a convergência das séries abaixo: ;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar a convergência: . O conteúdo aqui envolve séries e testes de convergência. Vamos precisar entender como os termos da série se comportam quando fica muito grande e aplicar algum teste que nos ajude a decidir se a série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Quando é grande, os termos de maior grau predominam. Então, podemos aproximar:

Assim, o termo geral aproxima-se de:

Passo 3

Com essa aproximação, vamos comparar nossa série com a série conhecida , que é a série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge. Vamos usar o Teste da Comparação para verificar a convergência da nossa série original.

Passo 4

Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos ver se existe uma constante tal que:
para todo grande.
Como vimos no Passo 2, para grande, o termo geral da nossa série é aproximadamente , e a série comparadora diverge.

Passo 5

Como o termo geral da nossa série é semelhante ao da série harmônica que diverge, e sendo maior ou igual para grande, pelo Teste da Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série não converge; ela diverge.

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Estude a convergência das séries abaixo: .
Determine para quais valores , a série é convergente e para quais é divergente.