Estude a convergência das séries abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar se a série
converge ou diverge. Isso entra no conteúdo de Séries Numéricas e vamos precisar usar Testes de Convergência, especificamente o Teste de Condensação de Cauchy.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor. A gente tem:
À medida que
cresce,
tende a zero, então para valores grandes de
, o termo geral da série se comporta aproximadamente como
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste de Condensação de Cauchy. Esse teste é útil para séries com termos positivos e decrescentes. Ele diz que a série
converge se e somente se a série condensada
converge.
Nosso
é
. Vamos condensar a série:
Podemos simplificar ignorando o
já que é uma constante:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a série
converge.
Observamos que
cresce exponencialmente, enquanto
cresce polinomialmente. Como o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial, a série
diverge.
Uma maneira de ver isso é notar que o termo geral não tende a zero rapidamente o suficiente para garantir a convergência.
Resposta
Portanto, pela aplicação do Teste de Condensação de Cauchy, concluímos que a série
diverge.
Exercícios relacionados
Estude a convergência das séries abaixo:
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Estude a convergência das séries abaixo:
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Determine para quais valores
, a série
é convergente e para quais é divergente.
Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores
há convergência nas séries abaixo: