Estude a convergência das séries abaixo: sumk=1^infty k^2+5k^2(ln (k))^3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar se a série converge ou diverge. Isso entra no conteúdo de Séries Numéricas e vamos precisar usar Testes de Convergência, especificamente o Teste de Condensação de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor. A gente tem:
k^2+5k^2(ln (k))^3 = 1 + 5k^2(ln k)^3
À medida que cresce, tende a zero, então para valores grandes de , o termo geral da série se comporta aproximadamente como .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste de Condensação de Cauchy. Esse teste é útil para séries com termos positivos e decrescentes. Ele diz que a série 2^n a2^n = 2^n cdot 1(ln 2^n)^3 = 2^n cdot 1(n ln 2)^3 = 2^nn^3 (ln 2)^3 converge se e somente se a série condensada 2^nn^3 converge.
Nosso é . Vamos condensar a série:
Podemos simplificar ignorando o já que é uma constante:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a série converge.
Observamos que cresce exponencialmente, enquanto cresce polinomialmente. Como o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial, a série diverge.
Uma maneira de ver isso é notar que o termo geral não tende a zero rapidamente o suficiente para garantir a convergência.

Resposta

Portanto, pela aplicação do Teste de Condensação de Cauchy, concluímos que a série diverge.

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