Estude a convergência das séries abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar se a série converge ou diverge. Isso entra no conteúdo de Séries Numéricas e vamos precisar usar Testes de Convergência, especificamente o Teste de Condensação de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor. A gente tem:
À medida que cresce, tende a zero, então para valores grandes de , o termo geral da série se comporta aproximadamente como .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste de Condensação de Cauchy. Esse teste é útil para séries com termos positivos e decrescentes. Ele diz que a série converge se e somente se a série condensada converge.
Nosso é . Vamos condensar a série:
Podemos simplificar ignorando o já que é uma constante:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a série converge.
Observamos que cresce exponencialmente, enquanto cresce polinomialmente. Como o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial, a série diverge.
Uma maneira de ver isso é notar que o termo geral não tende a zero rapidamente o suficiente para garantir a convergência.

Resposta

Portanto, pela aplicação do Teste de Condensação de Cauchy, concluímos que a série diverge.

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Determine para quais valores , a série é convergente e para quais é divergente.
Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores há convergência nas séries abaixo: