determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e quer descobrir para quais valores de
a solução dessa equação é da forma
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e usando funções exponenciais como possíveis soluções. Para resolver, vamos substituir
na equação e encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Se
, então:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação diferencial original:
Passo 4
Podemos fatorar
da expressão:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
e
, então a única maneira dessa equação ser verdadeira é se o fator dentro do parêntese for igual a zero:
Passo 5
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
78)
78)
Suponha que
esteja definida implicitamente como uma função de
e
pela equação
. Determine
e
.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
80)
80)
Suponha que duas substâncias químicas em solução reajam para formar um composto. Se a reação ocorre por meio da colisão e interação das moléculas das substâncias, espera-se que a taxa de formação do composto seja proporcional ao número de colisões por unidade de tempo, o que, por sua vez, é proporcional às quantidades das substâncias que não foram transformadas. Uma reação química que prossegue dessa maneira é chamada de reação de segunda ordem, e essa lei da reação é frequentemente referida como a lei da ação das massas. Considere uma reação de segunda ordem na qual x gramas do composto contenham ax gramas da primeira substância e bx gramas da segunda, onde
. Se há A gramas da primeira substância inicialmente, e
gramas da segunda, e se
quando
, encontre
como função do tempo
.