determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e quer descobrir para quais valores de
a solução dessa equação é da forma
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e usando funções exponenciais como possíveis soluções. Para resolver, vamos substituir
na equação e encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Se
, então:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação diferencial original:
Passo 4
Podemos fatorar
da expressão:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
e
, então a única maneira dessa equação ser verdadeira é se o fator dentro do parêntese for igual a zero:
Passo 5
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a equação diferencial é
.