determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y = e^r.
y' + 2y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e quer descobrir para quais valores de a solução dessa equação é da forma . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e usando funções exponenciais como possíveis soluções. Para resolver, vamos substituir na equação e encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . Se , então:

Passo 3

Agora, substituímos e na equação diferencial original:

Passo 4

Podemos fatorar da expressão:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de e , então a única maneira dessa equação ser verdadeira é se o fator dentro do parêntese for igual a zero:

Passo 5

Resolvendo para :

Resposta

O valor de que satisfaz a equação diferencial é .

Exercícios relacionados