determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e quer descobrir para quais valores de a solução dessa equação é da forma . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e usando funções exponenciais como possíveis soluções. Para resolver, vamos substituir na equação e encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . Se , então:

Passo 3

Agora, substituímos e na equação diferencial original:

Passo 4

Podemos fatorar da expressão:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de e , então a única maneira dessa equação ser verdadeira é se o fator dentro do parêntese for igual a zero:

Passo 5

Resolvendo para :

Resposta

O valor de que satisfaz a equação diferencial é .

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
78)
Suponha que esteja definida implicitamente como uma função de e pela equação . Determine e .
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
80)
Suponha que duas substâncias químicas em solução reajam para formar um composto. Se a reação ocorre por meio da colisão e interação das moléculas das substâncias, espera-se que a taxa de formação do composto seja proporcional ao número de colisões por unidade de tempo, o que, por sua vez, é proporcional às quantidades das substâncias que não foram transformadas. Uma reação química que prossegue dessa maneira é chamada de reação de segunda ordem, e essa lei da reação é frequentemente referida como a lei da ação das massas. Considere uma reação de segunda ordem na qual x gramas do composto contenham ax gramas da primeira substância e bx gramas da segunda, onde . Se há A gramas da primeira substância inicialmente, e gramas da segunda, e se quando , encontre como função do tempo .