Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
80)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O enunciado pede para resolvermos
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando métodos de substituição para integrais que envolvem funções logarítmicas. Vamos precisar entender como fazer uma troca de variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que possa simplificar a integral. Observamos que temos
no denominador, então vamos definir uma nova variável
igual a
. Assim:
Passo 3
Agora, precisamos descobrir como o diferencial
está relacionado com
. Diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
, temos:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original. A nossa integral original é:
Passo 5
Agora, temos uma integral em termos de
que é mais simples:
Passo 6
Integrando
em relação a
, usamos a regra da potência para integrais:
Aplicando isso com
:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
substituindo
:
Resposta
A integral indefinida é igual a $ -\frac{1}{\ln(x)} + C $.
Exercícios relacionados
determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
78)
78)
Suponha que duas substâncias químicas em solução reajam para formar um composto. Se a reação ocorre por meio da colisão e interação das moléculas das substâncias, espera-se que a taxa de formação do composto seja proporcional ao número de colisões por unidade de tempo, o que, por sua vez, é proporcional às quantidades das substâncias que não foram transformadas. Uma reação química que prossegue dessa maneira é chamada de reação de segunda ordem, e essa lei da reação é frequentemente referida como a lei da ação das massas. Considere uma reação de segunda ordem na qual x gramas do composto contenham ax gramas da primeira substância e bx gramas da segunda, onde
. Se há A gramas da primeira substância inicialmente, e
gramas da segunda, e se
quando
, encontre
como função do tempo
.
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.: