Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
80)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O enunciado pede para resolvermos . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando métodos de substituição para integrais que envolvem funções logarítmicas. Vamos precisar entender como fazer uma troca de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que possa simplificar a integral. Observamos que temos no denominador, então vamos definir uma nova variável igual a . Assim:

Passo 3

Agora, precisamos descobrir como o diferencial está relacionado com . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a , temos:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. A nossa integral original é:

Passo 5

Agora, temos uma integral em termos de que é mais simples:

Passo 6

Integrando em relação a , usamos a regra da potência para integrais:
Aplicando isso com :

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A integral indefinida é igual a $ -\frac{1}{\ln(x)} + C $.

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determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
78)
Suponha que duas substâncias químicas em solução reajam para formar um composto. Se a reação ocorre por meio da colisão e interação das moléculas das substâncias, espera-se que a taxa de formação do composto seja proporcional ao número de colisões por unidade de tempo, o que, por sua vez, é proporcional às quantidades das substâncias que não foram transformadas. Uma reação química que prossegue dessa maneira é chamada de reação de segunda ordem, e essa lei da reação é frequentemente referida como a lei da ação das massas. Considere uma reação de segunda ordem na qual x gramas do composto contenham ax gramas da primeira substância e bx gramas da segunda, onde . Se há A gramas da primeira substância inicialmente, e gramas da segunda, e se quando , encontre como função do tempo .
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Res.: