Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
80) integral d xx cdot ln ^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O enunciado pede para resolvermos integral dxx cdot ln^2(x). Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando métodos de substituição para integrais que envolvem funções logarítmicas. Vamos precisar entender como fazer uma troca de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que possa simplificar a integral. Observamos que temos ln(x) no denominador, então vamos definir uma nova variável u igual a ln(x). Assim:
u = ln(x)

Passo 3

Agora, precisamos descobrir como o diferencial dx está relacionado com du. Diferenciando ambos os lados da equação u = ln(x) em relação a x, temos:
dudx = 1x Rightarrow du = dxx

Passo 4

Vamos substituir u e du na integral original. A nossa integral original é:
integral dxx cdot ln^2(x) = integral duu^2

Passo 5

Agora, temos uma integral em termos de u que é mais simples:
integral duu^2 = integral u^-2 du

Passo 6

Integrando u^-2 em relação a u, usamos a regra da potência para integrais:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C (onde n neq -1 )
Aplicando isso com n = -2:
u^-1-1 + C = -1u + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original x substituindo u = ln(x):
-1ln(x) + C

Resposta

A integral indefinida é igual a $ -\frac{1}{\ln(x)} + C $.

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