Suponha que duas substâncias químicas em solução reajam para formar um composto. Se a reação ocorre por meio da colisão e interação das moléculas das substâncias, espera-se que a taxa de formação do composto seja proporcional ao número de colisões por unidade de tempo, o que, por sua vez, é proporcional às quantidades das substâncias que não foram transformadas. Uma reação química que prossegue dessa maneira é chamada de reação de segunda ordem, e essa lei da reação é frequentemente referida como a lei da ação das massas. Considere uma reação de segunda ordem na qual x gramas do composto contenham ax gramas da primeira substância e bx gramas da segunda, onde
. Se há A gramas da primeira substância inicialmente, e
gramas da segunda, e se
quando
, encontre
como função do tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos uma reação química de segunda ordem, onde duas substâncias reagem para formar um composto. A taxa dessa reação depende das quantidades das substâncias que ainda não reagiram. A gente precisa encontrar uma expressão para a quantidade do composto formado,
, em função do tempo,
. Vamos precisar usar a lei da ação das massas e algumas equações de cinética química de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as relações das massas. Sabemos que, para cada
gramas do composto formado, temos
gramas da primeira substância e
gramas da segunda, onde
. Isso significa que a quantidade de cada substantivo que reage está diretamente ligada a
.
Passo 3
Vamos estabelecer as quantidades das substâncias em qualquer tempo
:
- Quantidade da primeira substância:
- Quantidade da segunda substância:
Aqui,
e
são as quantidades iniciais das substâncias.
Passo 4
A taxa de formação do composto é dada por:
Isso vem da lei da ação das massas, onde
é a constante da reação.
Passo 5
Vamos separar as variáveis para integrar a equação. Reescrevemos:
Agora, precisamos integrar ambos os lados para encontrar
em função de
.
Passo 6
Antes de integrar, vamos simplificar a fração do lado esquerdo usando frações parciais. Assumindo que
, podemos escrever:
Isso facilita a integração.
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
quando
:
Assim, encontramos o valor de
.
Passo 9
Subtraímos a condição inicial da equação geral para isolar
:
Passo 10
Isolamos o logaritmo:
Agora, eliminamos o logaritmo aplicando a exponencial:
Passo 11
Resolvemos para
:
Resposta
A quantidade do composto formado em função do tempo é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
80)
80)
determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
86)
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