Suponha que duas substâncias químicas em solução reajam para formar um composto. Se a reação ocorre por meio da colisão e interação das moléculas das substâncias, espera-se que a taxa de formação do composto seja proporcional ao número de colisões por unidade de tempo, o que, por sua vez, é proporcional às quantidades das substâncias que não foram transformadas. Uma reação química que prossegue dessa maneira é chamada de reação de segunda ordem, e essa lei da reação é frequentemente referida como a lei da ação das massas. Considere uma reação de segunda ordem na qual x gramas do composto contenham ax gramas da primeira substância e bx gramas da segunda, onde . Se há A gramas da primeira substância inicialmente, e gramas da segunda, e se quando , encontre como função do tempo .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos uma reação química de segunda ordem, onde duas substâncias reagem para formar um composto. A taxa dessa reação depende das quantidades das substâncias que ainda não reagiram. A gente precisa encontrar uma expressão para a quantidade do composto formado, , em função do tempo, . Vamos precisar usar a lei da ação das massas e algumas equações de cinética química de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as relações das massas. Sabemos que, para cada gramas do composto formado, temos gramas da primeira substância e gramas da segunda, onde . Isso significa que a quantidade de cada substantivo que reage está diretamente ligada a .

Passo 3

Vamos estabelecer as quantidades das substâncias em qualquer tempo :
  • Quantidade da primeira substância:
  • Quantidade da segunda substância:
Aqui, e são as quantidades iniciais das substâncias.

Passo 4

A taxa de formação do composto é dada por:
Isso vem da lei da ação das massas, onde é a constante da reação.

Passo 5

Vamos separar as variáveis para integrar a equação. Reescrevemos:
Agora, precisamos integrar ambos os lados para encontrar em função de .

Passo 6

Antes de integrar, vamos simplificar a fração do lado esquerdo usando frações parciais. Assumindo que , podemos escrever:
Isso facilita a integração.

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial quando :
Assim, encontramos o valor de .

Passo 9

Subtraímos a condição inicial da equação geral para isolar :

Passo 10

Isolamos o logaritmo:
Agora, eliminamos o logaritmo aplicando a exponencial:

Passo 11

Resolvemos para :

Resposta

A quantidade do composto formado em função do tempo é:

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Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
80)
determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Res.:
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
86)