Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
(d)
4 - Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que é função apenas da razão ).
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de que fazem com que a função seja solução da equação diferencial dada:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas de ordem superior e métodos para encontrar soluções específicas utilizando funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma . Com essa suposição, precisamos calcular as derivadas de :

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial original:
Substituindo, temos:

Passo 4

Podemos fatorar da equação, já que nunca é zero:
Isso nos leva à equação característica:

Passo 5

Vamos resolver a equação característica . Primeiro, fatoramos :
Então, temos:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto:

Resposta

Os valores de que satisfazem a equação são , e .

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