Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
(d)
4 - Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que
é função apenas da razão
).
a)
(d)
4 - Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de
que fazem com que a função
seja solução da equação diferencial dada:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas de ordem superior e métodos para encontrar soluções específicas utilizando funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma
. Com essa suposição, precisamos calcular as derivadas de
:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial original:
Substituindo, temos:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação, já que
nunca é zero:
Isso nos leva à equação característica:
Passo 5
Vamos resolver a equação característica
. Primeiro, fatoramos
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equação são
,
e
.