(2,0 pontos) Calcule, por meio de uma integral dupla, o volume do sólido que está no primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico e o plano 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (aquele que tem todas as coordenadas positivas) e que é limitado pelo cilindro parabólico e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que são ótimas para encontrar volumes em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, , e são maiores ou iguais a zero. O cilindro parabólico nos dá a altura do sólido em qualquer ponto .

Passo 3

Vamos determinar os limites para . A expressão deve ser positiva, então:
Como estamos no primeiro octante, vai de 0 até .

Passo 4

O limite para é dado pelo plano . Então, varia de 0 a 3.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla para o volume. A função que descreve a altura do sólido é . Assim, o volume é:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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