(2,0 pontos) Calcule, por meio de uma integral dupla, o volume do sólido que está no primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico
e o plano
3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (aquele que tem todas as coordenadas positivas) e que é limitado pelo cilindro parabólico
e pelo plano
. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que são ótimas para encontrar volumes em regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante,
,
e
são maiores ou iguais a zero. O cilindro parabólico
nos dá a altura do sólido em qualquer ponto
.
Passo 3
Vamos determinar os limites para
. A expressão
deve ser positiva, então:
Como estamos no primeiro octante,
vai de 0 até
.
Passo 4
O limite para
é dado pelo plano
. Então,
varia de 0 a 3.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla para o volume. A função que descreve a altura do sólido é
. Assim, o volume
é:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.