Nos exercícios a seguir, encontre as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t = 0. Comprove o seu resultado usando a equação
(dx/ds)^2 + (dy/ds)^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma curva usando o comprimento de arco como parâmetro. Isso significa que, em vez de usar outro parâmetro como , vamos usar , que mede a distância ao longo da curva a partir do ponto onde .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, principalmente sobre comprimento de arco e parametrização de curvas. Também vamos usar a equação que relaciona as derivadas das coordenadas em relação a :

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de arco. Imagine que você está caminhando ao longo da curva desde o ponto onde . O comprimento de arco é justamente a distância que você percorreu até um certo ponto.
Para encontrar em termos de , usamos a fórmula:
Aqui, é o valor de onde começamos a medir, que no nosso caso é .

Passo 3

Depois de calcular , precisaremos inverter essa função para encontrar . Isso significa expressar em termos de . Às vezes, isso pode ser complicado e pode não ter uma solução analítica simples, mas vamos assumir que conseguimos encontrar uma expressão para em função de .

Passo 4

Com em mãos, substituímos esse valor nas equações originais e para obter e . Ou seja:
Agora, temos as equações paramétricas da curva em termos de .

Passo 5

Para comprovar que realmente é o comprimento de arco, usamos a equação dada:
Vamos calcular as derivadas de e em relação a , elevar ao quadrado e somar. Se tudo estiver certo, deve resultar em 1.
Isso confirma que está parametrizando a curva pelo comprimento de arco, ou seja, que realmente mede a distância ao longo da curva a partir de .

Resposta

Seguindo os passos acima, encontramos as equações paramétricas da curva em termos do comprimento de arco e verificamos que elas satisfazem a condição . Portanto, é o parâmetro adequado para descrever a curva pelo comprimento de arco a partir de .

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