Nos exercícios a seguir, encontre as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco
como parâmetro, onde
é medido a partir do ponto onde
. Comprove o seu resultado usando a equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma curva usando o comprimento de arco
como parâmetro. Isso significa que, em vez de usar outro parâmetro como
, vamos usar
, que mede a distância ao longo da curva a partir do ponto onde
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, principalmente sobre comprimento de arco e parametrização de curvas. Também vamos usar a equação que relaciona as derivadas das coordenadas em relação a
:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de arco. Imagine que você está caminhando ao longo da curva desde o ponto onde
. O comprimento de arco
é justamente a distância que você percorreu até um certo ponto.
Para encontrar
em termos de
, usamos a fórmula:
Aqui,
é o valor de
onde começamos a medir, que no nosso caso é
.
Passo 3
Depois de calcular
, precisaremos inverter essa função para encontrar
. Isso significa expressar
em termos de
. Às vezes, isso pode ser complicado e pode não ter uma solução analítica simples, mas vamos assumir que conseguimos encontrar uma expressão para
em função de
.
Passo 4
Com
em mãos, substituímos esse valor nas equações originais
e
para obter
e
. Ou seja:
Agora, temos as equações paramétricas da curva em termos de
.
Passo 5
Para comprovar que
realmente é o comprimento de arco, usamos a equação dada:
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
, elevar ao quadrado e somar. Se tudo estiver certo, deve resultar em 1.
Isso confirma que
está parametrizando a curva pelo comprimento de arco, ou seja, que
realmente mede a distância ao longo da curva a partir de
.
Resposta
Seguindo os passos acima, encontramos as equações paramétricas da curva em termos do comprimento de arco
e verificamos que elas satisfazem a condição
. Portanto,
é o parâmetro adequado para descrever a curva pelo comprimento de arco a partir de
.
Exercícios relacionados
(1,0 ponto) Represente no espaço tridimensional de forma clara as coordenadas esféricas de um ponto
. Descreva a relação das coordenadas esféricas do ponto
com suas coordenadas cartesianas a partir das relações trigonométricas em um triângulo retângulo.
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
(d)
4 - Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que é função apenas da razão
).
a)
(d)
4 - Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que
a)
(2,0 pontos) Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está entre os paraboloides
.
(2,0 pontos) Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
OBS: Lembre que o elemento de volume da integral tripla em coordenadas esféricas é
.