(1,0 ponto) Represente no espaço tridimensional de forma clara as coordenadas esféricas de um ponto . Descreva a relação das coordenadas esféricas do ponto com suas coordenadas cartesianas a partir das relações trigonométricas em um triângulo retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente representar as coordenadas esféricas de um ponto no espaço tridimensional. A gente vai precisar entender um pouco sobre sistemas de coordenadas, especialmente as esféricas e cartesianas, e usar trigonometria em triângulos retângulos para fazer a conversão entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Diferente das coordenadas cartesianas que usam para identificar a posição de um ponto no espaço, as coordenadas esféricas usam três valores: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo polar, que é medido a partir do eixo positivo z) e (o ângulo azimutal, medido no plano xy a partir do eixo positivo x).
Passo 3
Agora, para relacionar as coordenadas esféricas com as cartesianas, vamos imaginar um triângulo retângulo formado pela projeção do ponto no plano xy, a altura e a distância . Usando trigonometria:
- O cosseno do ângulo é igual a , então .
- No plano xy, a projeção do ponto tem distância da origem. Essa distância pode ser dividida nas componentes e usando o ângulo :
-
-
Passo 4
Então, resumindo as relações:
Essas fórmulas nos permitem converter qualquer ponto das coordenadas esféricas para cartesianas e vice-versa usando trigonometria básica em triângulos retângulos.
Resposta
As coordenadas esféricas de um ponto no espaço tridimensional são dadas por , e , onde:
Essas relações conectam as coordenadas esféricas com as cartesianas usando trigonometria em triângulos retângulos.