(1,0 ponto) Represente no espaço tridimensional de forma clara as coordenadas esféricas de um ponto . Descreva a relação das coordenadas esféricas do ponto com suas coordenadas cartesianas a partir das relações trigonométricas em um triângulo retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente representar as coordenadas esféricas de um ponto no espaço tridimensional. A gente vai precisar entender um pouco sobre sistemas de coordenadas, especialmente as esféricas e cartesianas, e usar trigonometria em triângulos retângulos para fazer a conversão entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Diferente das coordenadas cartesianas que usam para identificar a posição de um ponto no espaço, as coordenadas esféricas usam três valores: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo polar, que é medido a partir do eixo positivo z) e (o ângulo azimutal, medido no plano xy a partir do eixo positivo x).

Passo 3

Agora, para relacionar as coordenadas esféricas com as cartesianas, vamos imaginar um triângulo retângulo formado pela projeção do ponto no plano xy, a altura e a distância . Usando trigonometria: - O cosseno do ângulo é igual a , então . - No plano xy, a projeção do ponto tem distância da origem. Essa distância pode ser dividida nas componentes e usando o ângulo : - -

Passo 4

Então, resumindo as relações: Essas fórmulas nos permitem converter qualquer ponto das coordenadas esféricas para cartesianas e vice-versa usando trigonometria básica em triângulos retângulos.

Resposta

As coordenadas esféricas de um ponto no espaço tridimensional são dadas por , e , onde: Essas relações conectam as coordenadas esféricas com as cartesianas usando trigonometria em triângulos retângulos.

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