Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
. Estamos lidando com equações diferenciais lineares homogêneas de coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar substituir a forma proposta da solução na equação e encontrar os valores de
que satisfazem a equação resultante.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas de
. Vamos fazer isso passo a passo:
- A primeira derivada de
em relação a é: - A segunda derivada é:
- A terceira derivada é:
Passo 3
Agora, substituímos
,
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas, temos:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação:
Como
nunca é zero, podemos simplificar para:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação característica:
Fatorando
, temos:
Isso nos dá uma raiz
e a equação quadrática
. Resolvendo a quadrática:
Portanto, as raízes são
e
.
Resposta
Os valores de
são
,
e
.