Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y(t) = e^(r t).
y''' - 3y'' + 2y' = 0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma . Estamos lidando com equações diferenciais lineares homogêneas de coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar substituir a forma proposta da solução na equação e encontrar os valores de que satisfazem a equação resultante.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas de . Vamos fazer isso passo a passo:
  • A primeira derivada de em relação a é:
  • A segunda derivada é:
  • A terceira derivada é:

Passo 3

Agora, substituímos , , e na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas, temos:

Passo 4

Podemos fatorar da equação:
Como nunca é zero, podemos simplificar para:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação característica:
Fatorando , temos:
Isso nos dá uma raiz e a equação quadrática . Resolvendo a quadrática:
Portanto, as raízes são e .

Resposta

Os valores de são , e .

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