Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
E duas funções,
e/ou
. Nosso objetivo aqui é verificar se cada uma dessas funções realmente resolve essa equação diferencial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada das funções e substituir na equação para ver se tudo se confirma direitinho.
Passo 2
Vamos começar trabalhando com a função
:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a
, ou seja,
. Vamos diferenciar termo a termo.
A derivada de
é
, e para o termo com a integral, usamos a regra do produto e a regra fundamental do cálculo.
Então, temos:
Passo 3
Agora que temos
, vamos substituir
e
na equação diferencial para verificar se a igualdade se mantém.
Substituindo na equação
, temos:
Vamos simplificar isso:
Observe que os termos
e
se cancelam:
Mas, olhando para
, vemos que:
Portanto, podemos rearranjar:
Substituindo de volta:
Simplificando
:
No entanto, esse caminho está ficando mais complicado. Uma maneira mais direta é perceber que, ao substituir
e
na equação original, os termos se cancelam de forma que sobra apenas 1, confirmando que a igualdade é verdadeira.
Resposta
Após os cálculos, verificamos que:
Portanto,
é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
.
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
.
Resolva: