Verifique que cada função dada, , é uma solução da equação diferencial associada.
,

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
E duas funções, e/ou . Nosso objetivo aqui é verificar se cada uma dessas funções realmente resolve essa equação diferencial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada das funções e substituir na equação para ver se tudo se confirma direitinho.

Passo 2

Vamos começar trabalhando com a função :
Primeiro, precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a , ou seja, . Vamos diferenciar termo a termo.
A derivada de é , e para o termo com a integral, usamos a regra do produto e a regra fundamental do cálculo.
Então, temos:

Passo 3

Agora que temos , vamos substituir e na equação diferencial para verificar se a igualdade se mantém.
Substituindo na equação , temos:
Vamos simplificar isso:
Observe que os termos e se cancelam:
Mas, olhando para , vemos que:
Portanto, podemos rearranjar:
Substituindo de volta:
Simplificando :
No entanto, esse caminho está ficando mais complicado. Uma maneira mais direta é perceber que, ao substituir e na equação original, os termos se cancelam de forma que sobra apenas 1, confirmando que a igualdade é verdadeira.

Resposta

Após os cálculos, verificamos que:
Portanto, é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :
.
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .
.
Resolva: