Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
e depois analisar como as soluções se comportam quando
tende ao infinito (
). Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais comum para facilitar a resolução:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 3
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
Onde
e
.
Passo 4
Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. Primeiro, calculamos o fator integrante
usando a fórmula:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando integração por partes:
Multiplicando pela
:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Agora, dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Quando
, o termo
tende a zero, então o comportamento da solução é:
Isso significa que para valores grandes de
, a solução cresce linearmente com
.
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
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Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
,
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
.