Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial e depois analisar como as soluções se comportam quando tende ao infinito ( ). Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais comum para facilitar a resolução:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
Onde e .

Passo 4

Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. Primeiro, calculamos o fator integrante usando a fórmula:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes, onde:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 
Aplicando integração por partes:
Multiplicando pela :

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Agora, dividimos ambos os lados por para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Quando , o termo tende a zero, então o comportamento da solução é:
Isso significa que para valores grandes de , a solução cresce linearmente com .

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Verifique que cada função dada, , é uma solução da equação diferencial associada.
,
Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .
.