Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
, com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo diferencial, integrando os termos para encontrar a função
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a integração. A equação dada é:
Podemos mover um dos termos para o outro lado da igualdade:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar a antiderivada de cada lado:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para isolar
. Primeiro, podemos multiplicar todos os termos por
para facilitar:
Podemos reescrever isso como:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
. Substituindo esses valores na equação:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Passo 6
Agora que temos o valor de
, substituímos de volta na equação:
Passo 7
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Agora, lembrando da condição inicial
, sabemos que
deve ser negativo. Portanto, escolhemos o sinal negativo:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
.
Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
,
Resolva:
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo: