Resolva:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial: , com a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo diferencial, integrando os termos para encontrar a função em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a integração. A equação dada é:
Podemos mover um dos termos para o outro lado da igualdade:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar a antiderivada de cada lado:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para isolar . Primeiro, podemos multiplicar todos os termos por para facilitar:
Podemos reescrever isso como:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que quando , . Substituindo esses valores na equação:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por 2:

Passo 6

Agora que temos o valor de , substituímos de volta na equação:

Passo 7

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Agora, lembrando da condição inicial , sabemos que deve ser negativo. Portanto, escolhemos o sinal negativo:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que , então:

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .
.
Verifique que cada função dada, , é uma solução da equação diferencial associada.
,
Resolva:
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo: