Resolva:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais, especificamente as equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações lineares e entender um pouco sobre fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização. A equação dada é:
Podemos separar os termos de e :
Isso nos dá uma forma que se assemelha a uma equação diferencial linear:
Onde, comparando com a nossa equação:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para , e a do lado direito é , mais a constante de integração :

Passo 6

Finalmente, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva:
Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
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