Resolva o problema de valor inicial dado.
y'' - y' - 6y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Basicamente, a gente precisa encontrar uma função que satisfaça a equação e que atenda às condições iniciais e . Para isso, vamos precisar usar o método das equações características que é legal para resolver esse tipo de EDO com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à EDO. A equação diferencial dada é
Assumimos uma solução da forma . Substituindo na EDO, temos:
Dividindo por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Para encontrar as raízes , usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 4

Com as raízes reais e distintas e , a solução geral da EDO é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Essa é nossa primeira equação.

Passo 6

Agora, derivamos para usar a segunda condição :
Aplicando :
Essa é nossa segunda equação.

Passo 7

Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda:
Então, .

Passo 8

Com e , a solução particular é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é

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