Resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Basicamente, a gente precisa encontrar uma função
que satisfaça a equação
e que atenda às condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar usar o método das equações características que é legal para resolver esse tipo de EDO com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à EDO. A equação diferencial dada é
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na EDO, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Essa é a equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Para encontrar as raízes
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 4
Com as raízes reais e distintas
e
, a solução geral da EDO é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Essa é nossa primeira equação.
Passo 6
Agora, derivamos
para usar a segunda condição
:
Aplicando
:
Essa é nossa segunda equação.
Passo 7
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda:
Então,
.
Passo 8
Com
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é