Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: 2xy - sen(x) + (x^2 + e^y) dy/dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias, especificamente equações exatas. Vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial exata, que é .
A equação dada fica:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Assim:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, escrevemos a função potencial completa:
Como é constante, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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