Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias, especificamente equações exatas. Vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial exata, que é
.
A equação dada fica:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, escrevemos a função potencial completa:
Como
é constante, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.