Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha infinitas soluções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é encontrar os valores reais de para os quais o sistema linear abaixo possui infinitas soluções:
Aqui, estamos lidando com sistemas lineares, especificamente um sistema com duas equações e três incógnitas (, , ). Para resolver isso, precisamos entender quando um sistema assim tem infinitas soluções, ou seja, quando as equações são dependentes e não fornecem informações contraditórias.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema de equações de forma matricial para facilitar a análise. A matriz aumentada do sistema é:
Agora, usamos o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar uma relação entre os coeficientes que nos permita determinar .
Passo 3
Vamos eliminar o da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
Nossa matriz fica assim:
Passo 4
Para o sistema ter infinitas soluções, as duas equações devem ser dependentes, ou seja, a segunda equação deve ser múltiplo da primeira. Isso significa que os coeficientes das variáveis e o termo independente devem satisfazer uma relação específica.
Analisando a segunda linha:
Para que essa equação seja múltiplo da primeira , os coeficientes devem satisfazer:
Vamos resolver essa igualdade para encontrar .
Passo 5
Primeiro, igualamos a razão dos coeficientes de e :
Multiplicando em cruz para eliminar as frações:
Expandindo:
Agora, vamos simplificar:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 6
Verificamos também a igualdade com os termos constantes:
Para que seja consistente, os valores de encontrados devem satisfazer todas as relações. Assim, os valores de e garantem que o sistema tenha infinitas soluções.
Resposta
Os valores reais de que tornam o sistema linear com infinitas soluções são e .