Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha infinitas soluções: x+2 y+k z & =1 2 x+k y+8 z & =3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é encontrar os valores reais de x + 2y + kz = 1 2x + ky + 8z = 3 para os quais o sistema linear abaixo possui infinitas soluções:
Aqui, estamos lidando com sistemas lineares, especificamente um sistema com duas equações e três incógnitas ( , , ). Para resolver isso, precisamos entender quando um sistema assim tem infinitas soluções, ou seja, quando as equações são dependentes e não fornecem informações contraditórias.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema de equações de forma matricial para facilitar a análise. A matriz aumentada do sistema é:
1 & 2 & k & | & 1 2 & k & 8 & | & 3
Agora, usamos o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar uma relação entre os coeficientes que nos permita determinar .

Passo 3

Vamos eliminar o 2 times Linha 1 = (2, 4, 2k, |, 2) da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
Linha 2 - 2 times Linha 1 = (2 - 2, k - 4, 8 - 2k, | 3 - 2) Rightarrow (0, k - 4, 8 - 2k, | 1)
1 & 2 & k & | & 1 0 & k - 4 & 8 - 2k & | & 1
Nossa matriz fica assim:

Passo 4

Para o sistema ter infinitas soluções, as duas equações devem ser dependentes, ou seja, a segunda equação deve ser múltiplo da primeira. Isso significa que os coeficientes das variáveis e o termo independente devem satisfazer uma relação específica.
Analisando a segunda linha:
0x + (k - 4)y + (8 - 2k)z = 1
Para que essa equação seja múltiplo da primeira k - 42 = 8 - 2kk = 11 , os coeficientes devem satisfazer:
Vamos resolver essa igualdade para encontrar .

Passo 5

Primeiro, igualamos a razão dos coeficientes de k - 42 = 8 - 2kk e (k - 4) cdot k = 2 cdot (8 - 2k) :
k^2 - 4k = 16 - 4k
Multiplicando em cruz para eliminar as frações:
k^2 - 4k - 16 + 4k = 0 Rightarrow k^2 - 16 = 0
Expandindo:
k^2 = 16 Rightarrow k = pm 4
Agora, vamos simplificar:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 6

Verificamos também a igualdade com os termos constantes:
11 = 1
Para que seja consistente, os valores de encontrados devem satisfazer todas as relações. Assim, os valores de e garantem que o sistema tenha infinitas soluções.

Resposta

Os valores reais de que tornam o sistema linear com infinitas soluções são e .

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