Mostre que os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
(conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais):
formado por todas as matrizes simétricas
;
Passo 1
Beleza, vamos mostrar que o conjunto
, formado por todas as matrizes simétricas
de ordem
com entradas reais (
), é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, e verificar se
satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que
não está vazio. Em álgebra linear, um subespaço deve conter o vetor zero. A matriz zero, que tem todas as entradas iguais a zero, é simétrica porque sua transposta também é a matriz zero. Portanto,
contém a matriz zero.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes simétricas
e
em
, a soma
também deve ser simétrica. Sabemos que:
Como
é igual à sua transposta, a soma de duas matrizes simétricas também é simétrica. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer matriz simétrica
em
e qualquer escalar
, a matriz
também deve ser simétrica. Calculando a transposta:
Assim,
é igual à sua transposta, mostrando que a multiplicação por um escalar mantém a simetria. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Concluímos que
, o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem
com entradas reais, é de fato um subespaço vetorial de
.