Mostre que os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de M2 times 2(R) (conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais): S2 times 2 formado por todas as matrizes simétricas (A^T=A);

Passo 1

Beleza, vamos mostrar que o conjunto , formado por todas as matrizes simétricas de ordem com entradas reais ( ), é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, e verificar se satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que não está vazio. Em álgebra linear, um subespaço deve conter o vetor zero. A matriz zero, que tem todas as entradas iguais a zero, é simétrica porque sua transposta também é a matriz zero. Portanto, contém a matriz zero.

Passo 3

Agora, vamos verificar se (A + B)^T = A^T + B^T = A + B é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes simétricas e em , a soma também deve ser simétrica. Sabemos que:
Como é igual à sua transposta, a soma de duas matrizes simétricas também é simétrica. Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se (cA)^T = cA^T = cA é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer matriz simétrica em e qualquer escalar , a matriz também deve ser simétrica. Calculando a transposta:
Assim, é igual à sua transposta, mostrando que a multiplicação por um escalar mantém a simetria. Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Concluímos que , o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem com entradas reais, é de fato um subespaço vetorial de .

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