Esboçar o gráfico das cônicas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa desenhar o gráfico da cônica representada pela equação
. Isso envolve identificar que tipo de cônica é essa e quais são suas características principais, como centro, eixos e vértices.
Passo 2
Observando a equação
, vemos que temos uma expressão do tipo
. Esse formato indica que estamos lidando com uma hipérbole, que é uma das cônicas.
Passo 3
Vamos identificar o centro da hipérbole. Na fórmula geral, o centro é dado por
. Comparando com nossa equação, temos
e
. Então, o centro da hipérbole é o ponto
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Na equação
, o denominador sob
é
, que é
. Portanto,
. Já sob
temos
, que é
, então
.
Passo 5
Com
, sabemos que a hipérbole abre horizontalmente (para os lados), porque o termo positivo está associado a
. Os vértices ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo horizontal. Então, os vértices estão em
, ou seja, em
e
.
Passo 6
Vamos desenhar os eixos da hipérbole. O eixo transversal é horizontal e passa pelos vértices, então vai de
a
mantendo
. O eixo conjugado é vertical, com comprimento
, passando também pelo centro
.
Passo 7
Para desenhar a hipérbole, traçamos as assíntotas, que são retas que passam pelo centro e têm inclinação
. As equações das assíntotas são então
e
.
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar a hipérbole. Plotamos o centro em
, os vértices em
e
, desenhamos os eixos, as assíntotas e traçamos as ramos da hipérbole que se aproximam das assíntotas nos dois lados.
Resposta
O gráfico da hipérbole
tem centro em
, vértices em
e
, abre horizontalmente, e suas assíntotas são as retas
e
. O esboço inclui esses elementos, com os ramos da hipérbole se aproximando das assíntotas.