Esboçar o gráfico das cônicas: (x-3)^24-(y-3)^29=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa desenhar o gráfico da cônica representada pela equação (x-3)^24-(y-3)^29=1. Isso envolve identificar que tipo de cônica é essa e quais são suas características principais, como centro, eixos e vértices.

Passo 2

Observando a equação (x-3)^24-(y-3)^29=1, vemos que temos uma expressão do tipo (x-h)^2a^2 - (y-k)^2b^2 = 1. Esse formato indica que estamos lidando com uma hipérbole, que é uma das cônicas.

Passo 3

Vamos identificar o centro da hipérbole. Na fórmula geral, o centro é dado por (h, k). Comparando com nossa equação, temos h = 3 e k = 3. Então, o centro da hipérbole é o ponto (3, 3).

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de a e b. Na equação (x-3)^24-(y-3)^29=1, o denominador sob (x-3)^2 é 4, que é a^2. Portanto, a = 2. Já sob (y-3)^2 temos 9, que é b^2, então b = 3.

Passo 5

Com a = 2, sabemos que a hipérbole abre horizontalmente (para os lados), porque o termo positivo está associado a x. Os vértices ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo horizontal. Então, os vértices estão em (3 pm 2, 3), ou seja, em (5, 3) e (1, 3).

Passo 6

Vamos desenhar os eixos da hipérbole. O eixo transversal é horizontal e passa pelos vértices, então vai de x = 1 a x = 5 mantendo y = 3. O eixo conjugado é vertical, com comprimento 2b = 6, passando também pelo centro (3, 3).

Passo 7

Para desenhar a hipérbole, traçamos as assíntotas, que são retas que passam pelo centro e têm inclinação pm ba = pm 32. As equações das assíntotas são então y - 3 = 32(x - 3) e y - 3 = -32(x - 3).

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar a hipérbole. Plotamos o centro em (3, 3), os vértices em (5, 3) e (1, 3), desenhamos os eixos, as assíntotas e traçamos as ramos da hipérbole que se aproximam das assíntotas nos dois lados.

Resposta

O gráfico da hipérbole (x-3)^24-(y-3)^29=1 tem centro em (3, 3), vértices em (5, 3) e (1, 3), abre horizontalmente, e suas assíntotas são as retas y - 3 = 32(x - 3) e y - 3 = -32(x - 3). O esboço inclui esses elementos, com os ramos da hipérbole se aproximando das assíntotas.

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