Determine para quais valores de r(r> 0 ) pode-se afirmar: se |x - 1| < 0,001 e |y - 2| < r, então |x+y-3| < 0.02.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas condições:
  1. : Isso significa que o valor de x está muito próximo de 1, com uma tolerância de 0,001.
  2. : Aqui, o valor de y está próximo de 2, com uma tolerância de r.
Queremos encontrar os valores de r tais que, se as duas condições acima forem verdadeiras, então a soma estará dentro de 0,02 de 3, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender como as desigualdades se relacionam e como podemos combinar as informações dadas para chegar ao valor de r.

Passo 2

Vamos começar analisando a expressão que queremos que seja menor que 0,02:
Podemos reescrever isso como:
Agora, aplicamos a propriedade desigualdade triangular, que nos diz que:
Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 3

Sabemos que e . Substituindo na desigualdade:
Agora, precisamos encontrar o valor de r que satisfaz essa condição.

Passo 4

Isolando r na inequação:
Como a questão nos diz que , temos que r deve ser maior que 0 e menor que 0,019.

Resposta

Portanto, os valores de r que satisfazem a condição são todos os números reais tais que:

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